Un nedador travessa un riu

Un nedador travessa un riu a una velocitat de 3 km/h, remuntant-lo (contra corrent) en una direcció que forma un angle de 45º amb la riba. Si la velocitat del corrent és de 0,1 m/s i el riu té una amplada de 200 m, determineu: a) El temps que trigarà a arribar a l’altra riba.b) La direcció de la marxa.

Per resoldre aquest problema, analitzem pas a pas les dades i els càlculs necessaris. Convertirem totes les unitats al sistema internacional (SI) per facilitar els càlculs.

Dades:

• Velocitat del nedador respecte a l’aigua: \( v_n = 3 \, \text{km/h} \). \[ v_n = 3 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \cdot \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = \frac{3000}{3600} = 0,833 \, \text{m/s} \]

• Angle del nedador respecte a la riba: \( \theta = 45^\circ \).

• Velocitat del corrent del riu: \( v_c = 0,1 \, \text{m/s} \) (en direcció contrària al moviment del nedador, ja que remunta el riu).

• Amplada del riu: \( d = 200 \, \text{m} \).Suposem que:

• L’eix \( x \) és paral·lel a la riba, amb el corrent en direcció negativa (\( -\hat{i} \)).

• L’eix \( y \) és perpendicular a la riba, cap a l’altra riba (\( +\hat{j} \)).

• El nedador es mou en direcció \( 45^\circ \) respecte a la riba, amb components positives en \( y \) (cap a l’altra riba) i negatives en \( x \) (contra el corrent).

a) Temps per arribar a l’altra ribaLa velocitat del nedador respecte a l’aigua (\( \vec{v}_n \)) té components:\[v_{nx} = -v_n \cos 45^\circ = -0,833 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0,589 \, \text{m/s}\]\[v_{ny} = v_n \sin 45^\circ = 0,833 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,589 \, \text{m/s}\]La velocitat del corrent és:\[\vec{v}_c = -0,1 \hat{i} \, \text{m/s}\] La velocitat resultant del nedador respecte a terra (\( \vec{v}_r \)) és la suma vectorial:\[\vec{v}_r = \vec{v}_n + \vec{v}_c\]Components:- En \( x \): \[ v_{rx} = v_{nx} + v_c = -0,589 + (-0,1) = -0,689 \, \text{m/s} \]- En \( y \): \[ v_{ry} = v_{ny} = 0,589 \, \text{m/s} \] Per travessar el riu, només ens interessa la component \( v_{ry} \), ja que determina el temps per cobrir els 200 m perpendiculars a la riba:\[t = \frac{d}{v_{ry}} = \frac{200}{0,589} \approx 339,56 \, \text{s}\]Convertim a minuts:\[339,56 \, \text{s} \cdot \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{s}} \approx 5,66 \, \text{min}\]

Temps: Aproximadament 339,6 s o 5,66 min.

b) Direcció de la marxa. La direcció de la marxa respecte a terra es determina a partir de la velocitat resultant \(\vec{v}_r\). L’angle \( \phi \) respecte a l’eix \( y \) (perpendicular a la riba) es calcula amb:\[\tan \phi = \frac{|v_{rx}|}{v_{ry}} = \frac{0,689}{0,589} \approx 1,170\]\[\phi = \arctan(1,170) \approx 49,46^\circ\]Com que \( v_{rx} \) és negatiu i \( v_{ry} \) és positiu, el vector velocitat es troba al segon quadrant respecte a l’eix \( y \), formant un angle de \( 49,46^\circ \) respecte a la direcció perpendicular a la riba, cap avall del riu (en sentit contrari al moviment desitjat del nedador).Però, si es demana l’angle respecte a la riba (eix \( x \)), hem de considerar l’angle respecte a l’eix \( x \):\[\tan \psi = \frac{v_{ry}}{|v_{rx}|} = \frac{0,589}{0,689} \approx 0,855\]\[\psi = \arctan(0,855) \approx 40,54^\circ\]Aquest angle és respecte a la direcció \( -\hat{i} \) (contra el corrent). Per tant, la direcció de la marxa és d’uns 40,5° respecte a la riba, en sentit contrari al corrent però desviada cap a l’altra riba.

Resum final:

• a) Temps per arribar a l’altra riba: 339,6 s (aproximadament 5,66 min).

• b) Direcció de la marxa: Aproximadament 40,5° respecte a la riba, en direcció contra el corrent i cap a l’altra riba.