Un guarda forestal i el mico

El guarda apunta el canó directament al mico, sense adonar-se que el dard seguirà una trajectòria parabòlica que passarà per sota de la posició actual de la criatura. El mico, en veure el dispar de la pistola, deixa anar immediatament la branca i cau de l’arbre, esperant evitar el dard. (a) Demostreu que el mico serà impactat independentment de la velocitat inicial del dard, sempre que aquesta velocitat sigui prou gran perquè el dard pugui recórrer la distància horitzontal fins a l’arbre. Suposeu que el temps de reacció del mico és negligible. (b) Siguin $v_{d0}$ la velocitat inicial del dard respecte al mico. Trobareu la velocitat del dard respecte al mico en un temps arbitrari $t$ durant el vol del dard.

En aquest exemple, tant el mico com el dard segueixen un moviment de projectil. Per demostrar que el dard impacta el mico, hem de mostrar que en algun temps $t$, el dard i el mico tenen les mateixes coordenades, independentment de la velocitat inicial del dard. Per fer-ho, apliquem Apliquem l’equació tant al mico com al dard. Per a la part (b), podem utilitzar l’equació, tenint en compte els marcs de referència relatius.

a)

1. Apliquem l’equació 3-16c al mico en un temps arbitrari $t$:

$$\Delta \overline{r_m} = \frac{1}{2} \overline{g} t^2$$

(La velocitat inicial del mico és zero.)

2. Apliquem l’equació 3-16c al dard en un temps arbitrari $t$:

$$\Delta \overline{r_d} = \overline{v_0} t + \frac{1}{2} \overline{g} t^2$$

on $\overline{v_0}$ és la velocitat del dard quan deixa la pistola.

3. Fem un esbós de la figura 3-20. Mostreu el dard, el mico i la pistola, com es troben en les seves posicions inicials i les seves posicions en un temps $t$ posterior. A la figura, dibuixeu un vector que representi $\overline{v_0}$, i després un vector $\overline{r_d}$, $\overline{r_m}$ i 2 resultants:

El dard impactarà el mico quan el dard assoleixi la línia de caiguda del mico.

b)

1. La velocitat del dard respecte al mico és igual a la velocitat del dard respecte a la pistola més la velocitat del mico respecte a la pistola:

$$\overline{v_{dm}} = \overline{v_{dg}} + \overline{v_{mg}}$$

2. La velocitat del mico respecte a la pistola és el negatiu de la velocitat del mico respecte al mico:

$$\overline{v_{mg}} = \overline{v_g}$$

3. La velocitat del dard respecte a la pistola és (equació 3-15c), expressant tant la velocitat del dard respecte a la pistola com la velocitat del mico respecte a la pistola:

$$\overline{v_{dg}} = \overline{v_0} + \overline{g} t$$

$$\overline{v_{mg}} = \overline{g} t$$

4. Substituïm aquestes expressions al resultat de la part (b) pas 2:

$$\overline{v_{dm}} = (\overline{v_0} + \overline{g} t) + (\overline{g} t) = \overline{v_0}$$

COMPROVACIÓ. Els resultats del pas 4 de la part (a) i el pas 4 de la part (b) coincideixen entre si. Estan d’acord que el dard impactarà el mico quan el dard assoleixi la línia de caiguda del mico, i si el dard arriba a terra abans, el mico caurà a terra.