LEMNISCATA
Matemàtiques
У једној земљи је проучавана заједница на Твитеру и примећено је да се број пратилаца сваког корисника расподељује према нормалној расподели са просеком од 200 и стандардном девијацијом од 50.
а) Одредите проценат популације која има више од 240 пратилаца.
Прво, израчунавамо Z-скор за 240 пратилаца:
$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{240 – 200}{50} = \frac{40}{50} = 0.8$$
Сада користимо табелу стандардне нормалне расподеле да нађемо вероватноћу за ( Z = 0.8 ):
$$P(Z \leq 0.8) \approx 0.7881$$
Вероватноћа да корисник има више од 240 пратилаца је:
$$P(X > 240) = 1 – P(Z \leq 0.8) = 1 – 0.7881 = 0.2119$$
Проценат популације је:
$$0.2119 \times 100 \approx 21.19\%$$
б) Одредите проценат популације која има мање од 100 пратилаца.
Израчунавамо Z-скор за 100 пратилаца:
$$Z = \frac{100 – 200}{50} = \frac{-100}{50} = -2$$
Користимо табелу стандардне нормалне расподеле да нађемо вероватноћу за ( Z = -2 ):
$$P(Z \leq -2) \approx 0.0228$$
Проценат популације је:
$$0.0228 \times 100 \approx 2.28\%$$
в) Одредите проценат популације која има између 180 и 240 пратилаца.
Израчунавамо Z-скорове за 180 и 240 пратилаца:
$$Z_{180} = \frac{180 – 200}{50} = \frac{-20}{50} = -0.4$$
$$Z_{240} = \frac{240 – 200}{50} = 0.8$
Проналазимо вероватноће користећи табелу стандардне нормалне расподеле:
$$P(Z \leq -0.4) \approx 0.3446$$
$$P(Z \leq 0.8) \approx 0.7881$$
Проценат популације између 180 и 240 пратилаца је:
$$P(180 \leq X \leq 240) = P(Z \leq 0.8) – P(Z \leq -0.4)$$
$$P(180 \leq X \leq 240) = 0.7881 – 0.3446 = 0.4435$$
Проценат је:
$$0.4435 \times 100 \approx 44.35\%$$
г) Израчунајте број пратилаца који корисник треба да има да би био у оквиру 10% популације са највише пратилаца.
Потребно је да нађемо вредност ( X ) такву да ( P(X > x) = 0.10 ). Ово значи да треба да нађемо 90. перцентил нормалне расподеле.
Вредност Z која одговара 90. перцентилу је приближно 1.28.
Сада обрћемо Z-скор да нађемо ( X ):
$$x = \mu + Z \cdot \sigma = 200 + 1.28 \cdot 50 = 200 + 64 = 264$$
д) Израчунајте број пратилаца који корисник треба да има да би био у оквиру 30% популације са најмање пратилаца.
Потребно је да нађемо вредност ( X ) такву да ( P(X \leq x) = 0.30 ). Ово значи да треба да нађемо 30. перцентил нормалне расподеле.
Вредност Z која одговара 30. перцентилу је приближно -0.52.
Сада обрћемо Z-скор да нађемо ( X ):
$$x = \mu + Z \cdot \sigma = 200 + (-0.52) \cdot 50 = 200 – 26 = 174$$
Укратко:
а) Проценат популације која има више од 240 пратилаца је приближно 21.19%.
б) Проценат популације која има мање од 100 пратилаца је приближно 2.28%.
в) Проценат популације која има између 180 и 240 пратилаца је приближно 44.35%.
г) Да би корисник био у оквиру 10% популације са највише пратилаца, потребно је да има приближно 264 пратиоца.
д) Да би корисник био у оквиру 30% популације са најмање пратилаца, потребно је да има приближно 174 пратиоца.