LEMNISCATA
Matemàtiques
Un cable de diàmetre $d = 5$ mm i longitud $L= 10$ m se li aplica un esforç de tracció entre els seus extrems $F= 1000$ N. L’acer té un límit elàstic de $\sigma = 295$ MPa. Determineu: a) Tensió del cable b) Tipus de deformació que té el cable c) Quin coeficient de seguretat que té el cable
Anem a analitzar el cable d’acer amb un diàmetre de $d = 5 \, \text{mm}$ i longitud $L = 10 \, \text{m}$, sota una força de tracció de $F = 1000 \, \text{N}$. Sabem que l’acer té un límit elàstic de $\sigma_{\text{elàstic}} = 295 \, \text{MPa}$.
La tensió, o esforç, en el cable es calcula amb la fórmula:
$$\sigma = \frac{F}{A}$$
On:
$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$
Substituïm el valor del diàmetre $d = 5 \, \text{mm} = 0.005 \, \text{m}$:
$$A = \frac{\pi (0.005)^2}{4} = \frac{\pi \times 0.000025}{4} = 1.9635 \times 10^{-5} \, \text{m}^2$$
Ara calculem la tensió:
$$\sigma = \frac{1000 \, \text{N}}{1.9635 \times 10^{-5} \, \text{m}^2} = 50.94 \times 10^6 \, \text{Pa} = 50.94 \, \text{MPa}$$
Per tant, la tensió en el cable és de $50.94$ MPa.
Per determinar el tipus de deformació, comparem la tensió aplicada amb el límit elàstic de l’acer.
Com que $50.94 \, \text{MPa} < 295 \, \text{MPa}$, la tensió està per sota del límit elàstic. Això significa que el cable es troba dins del rang elàstic, és a dir, la seva deformació serà recuperable quan es retiri la força aplicada.
El coeficient de seguretat $n$ es defineix com la relació entre el límit elàstic del material i la tensió real a la qual està sotmès:
$$n = \frac{\sigma_{\text{elàstic}}}{\sigma_{\text{real}}}$$
Substituïm els valors coneguts:
$$n = \frac{295 \, \text{MPa}}{50.94 \, \text{MPa}} = 5.79$$
Per tant, el coeficient de seguretat del cable és $5.79$.