Temps per omplir una piscina amb una mànega

Una mànega de jardí de $1.6$ cm de diàmetre s’utilitza per omplir una piscina rodona de $6.1$ m de diàmetre. Quant de temps costarà omplir la piscina fins a una alçada de $1.2$ m si l’aigua surt de la mànega amb una velocitat de $0.33$ m/s?

---

Pas 1: Calcular el volum de la piscina

La piscina és rodona (un cilindre) amb un diàmetre de $6.1$ m i una alçada de $1.2$ m. El volum $V$ d’un cilindre es calcula amb la fórmula:

$$V = \pi r^2 h$$

On:

• $r$ és el radi de la piscina.
• $h$ és l’alçada de l’aigua ($1.2 m$).

El diàmetre de la piscina és $6.1$ m, per tant, el radi és:

$$r = \frac{6.1}{2} = 3.05 \, \text{m}$$

Substituint a la fórmula del volum:

$$V = \pi (3.05)^2 (1.2)\approx 35.093 \, \text{m}^3$$

El volum de la piscina és aproximadament 35.093 m³.

---

Pas 2: Calcular el flux d’aigua de la mànega

El flux volumètric ($Q$) de la mànega es calcula com:

$$Q = A \cdot v$$

On:

• $A$ és l’àrea de la secció transversal de la mànega.
• $v$ és la velocitat de l’aigua (0.33 m/s).

La mànega té un diàmetre de 1.6 cm, és a dir, 0.016 m, per tant, el radi és:

$$r = \frac{0.016}{2} = 0.008 \, \text{m}$$

L’àrea de la secció transversal és:

$$A = \pi r^2 = \pi (0.008)^2 \approx 0.00006633 \, \text{m}^3/\text{s}$$

El flux volumètric és:

$$Q = 0.000201 \cdot 0.33$$

El flux d’aigua és aproximadament 0.00006633 m³/s.

---

Pas 3: Calcular el temps necessari

El temps $t$ per omplir la piscina es calcula dividint el volum de la piscina entre el flux volumètric:

$$t = \frac{V}{Q}$$

Substituint:

$$t = \frac{35.093}{0.00006633} \approx 528,885 \, \text{segons}$$

Convertim els segons a hores:

$$t \approx \frac{528,885}{3600} \approx 146.91 \, \text{hores}$$

Per obtenir una resposta més precisa en hores, minuts i segons:

• Hores: $146.91$ hores. La part entera és 146 hores.
• La part decimal $0.91 \cdot 60 = 54.6$ minuts, és a dir, 54 minuts.
• La part decimal dels minuts $0.6 \cdot 60 = 36$ segons, és a dir, 36 segons.

Per tant, el temps és aproximadament 146 hores, 54 minuts i 36 segons.

---

Resposta final

Omplir la piscina trigarà aproximadament 146 hores, 54 minuts i 36 segons.