LEMNISCATA
Matemàtiques
Etiqueta: matemàtiques
Etiqueta: matemàtiques
Problema sobre recta i pla. Posició relativa, problema mètric
Considereu la recta $r$ i el pla $\pi$ donats per les equacions següents: $r:~\dfrac{x+1}2=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z-1}0\qquad\pi:~x-2y-z=4$$ [a)] Estudieu la posició relativa de la recta i el pla.[b)] En cas que la recta talli al pla, calculeu el punt de tall i l’angle que formen. En cas contrari, calculeu la distància entre la recta i el pla.[c)] Determineu
Read MoreProblema sobre matrices
Considere las matrices $$A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1&-3\\1&2\end{pmatrix}$$[a)] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o inversibles) y calcule sus matrices inversas.[b)] Resuelva la ecuación matricial $AXB=A^t-3B$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.[a)] Una matriz es regular si su determinante es distinto de $0$: $|A|=\begin{vmatrix}2&3\\-1&-2\end{vmatrix}=-4+3=-1\ \qquad |B|=\begin{vmatrix}-1&-3\\1&2\end{vmatrix}=-2+3=1$ Luego ambas matrices son regulares.La matriz inversa
Read MoreProblema 1 examen de matemàtiques II
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\ x+a^2y-z&=3-a\\ x-y+az&=1\end{array}\right.$$ Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema: $$M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&a^2&-1&3-a\\1&-1&a&1\end{pmatrix}$$ Calculamos eel rango de la matriz de coeficientes: $$\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{vmatrix}=a^3-1+1+a^2-a-1=a^3+a^2-a-1=$$ $$=(a-1)(a^2+2a+1)=(a-1)(a+1)^2 $$ Determinante que se anula para $a=1$ y $a=-1$. [$\boldsymbol{*}$]
Read More2022 – Juny – Bloc B – Exercici 5
Considera el sistema: $$\left\{\begin{array}{rcrcrcr} x & – & y & + & mz & = & -3 \\ -mx & + & 3y & – & z & = & 1 \\ x & – & 4y & + & mz & = & -6 \end{array}\right.$$ Discuteix el sistema segons els valors de $m$. Sigueu
Read More2013 – Juny – Opció A – Exercici 3
Sigueu $$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 1 & 1 & m-1 \end{array}\right)$$ Determina els valors de $m$ per als quals els vectors fila de $M$ són linealment independents. Perquè els vectors siguin linealment independents només cal fer que el determinant sigui diferent de zero. $$|M|=\left|\begin{array}{ccc} 1 &
Read More2014 – Juny – Opció B – Exercici 3
Considereu les matrius $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\qquad i\qquad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ Determina, si existeix, la matriu $X$ que verifica $AX+B=A^2$. Com volem que $AX+B=A^2\Rightarrow AX=A^2-B\Rightarrow
Read Moreampolles, garrafes i bidons
En una empresa es fabriquen tres tipus de productes plàstics: ampolles, garrafes i bidons. S’utilitza com a primera matèria 10 kg de polietilè cada hora. Se sap que per fabricar cada ampolla calen 50 grams, per a cada garrafa 100 grams i 1 kg per a cada bidó. El gerent també ens diu que cal
Read MoreProblema continuïtat
Troba els valors de $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua en tot R $$f(x) = \left\{\begin{array}{rcr}1+\cos x & \text{ si }& x \leq 0 \\ 2(a-x) & \text{ si } & 0 < x < 1 \\ \frac{b}{x^2} & \text{ si } & x \geq1\end{array}\right.$$ A $(-\infty,0)$ és contínua?$1 + \cos(x)$ és
Read MoreMatrices. Matriz inversa y cálculo matricial
Considera las matrices $$A=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right)\ \text{ y } C=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)$$. a) Determina los valores de $a$ para los
Read More