Solució d’una Equació Diferencial Separable amb Condició Inicial

Troba la solució \( y(t) \) del problema de valor inicial \[\frac{dy}{dt} + (1 + y^2) \sin t = 0, \quad y(0) = 1\]

Dividint ambdós costats de l’equació diferencial per \( 1 + y^2 \) dona\[\frac{y}{1 + y^2} \frac{dy}{dt} = -\sin t.\]Conseqüentment,\[\int_1^y \frac{r}{1 + r^2} dr = \int_0^t -\sin s \, ds,\]de manera que\[\frac{1}{2} \ln(1 + y^2) – \frac{1}{2} \ln 2 = \cos t – 1.\]Resolent aquesta equació per \( y(t) \) dona\[y(t) = \pm (2e^{-4\sin^2 t/2} – 1)^{1/2}.\]Per determinar si hem d’agafar la branca positiva o negativa de l’arrel quadrada, veiem que \( y(0) \) és positiu. Per tant,\[y(t) = (2e^{-4\sin^2 t/2} – 1)^{1/2}.\]

Aquesta solució només està definida quan\[2e^{-4\sin^2 t/2} \geq 1\]\[e^{4\sin^2 t/2} \leq 2.\]Com que la funció logaritme és monòtonament creixent, podem prendre logaritmes d’ambdós costats de (11) i preservar la desigualtat. Així, \( 4\sin^2 t/2 < \ln 2 \), cosa que implica que\[\left| \frac{t}{2} \right| < \arcsin \sqrt{\ln 2}.\]Per tant, \( y(t) \) només existeix en l’interval obert \( (-a, a) \) on\[a = 2 \arcsin \sqrt{\ln 2} / 2.\]Ara, això sembla ser una nova dificultat associada amb equacions no lineals, ja que \( y(t) \) simplement “desapareix” a \( t = \pm a \), sense anar a infinitat. Tanmateix, aquesta aparent dificultat es pot explicar fàcilment, i més encara, es pot anticipar si reescrivim l’equació diferencial anterior en la forma estàndard\[\frac{dy}{dt} = -\frac{(1 + y^2) \sin t}{y}.\]Observeu que aquesta equació diferencial no està definida quan \( y = 0 \). Per tant, si una solució \( y(t) \) aconsegueix el valor zero en algun moment \( t = t^* \), llavors no podem esperar que estigui definida per \( t > t^* \). Això és exactament el que passa aquí, ja que \( y(\pm a) = 0 \).