Solució del sistema d’equacions mitjançant el mètode de Gauss

Resoldre el següent sistema d’equacions utilitzant el mètode de Gauss: $$\begin{cases}x – 3y + 7z &= 10 \\ 5x – y + z &= 8 \\ x + 4y – 10z &= -11\end{cases}$$

Construïm la matriu augmentada:

\[\begin{bmatrix}1 & -3 & 7 & | & 10 \\5 & -1 & 1 & | & 8 \\1 & 4 & -10 & | & -11 \\\end{bmatrix}\]

Pas 1: Eliminació cap a la primera columna

• Fila 2 ← Fila 2 – 5 × Fila 1

\[\begin{bmatrix}1 & -3 & 7 & | & 10 \\0 & 14 & -34 & | & -42 \\1 & 4 & -10 & | & -11 \\\end{bmatrix}\]

• Fila 3 ← Fila 3 – Fila 1

\[\begin{bmatrix}1 & -3 & 7 & | & 10 \\0 & 14 & -34 & | & -42 \\0 & 7 & -17 & | & -21 \\\end{bmatrix}\]

Pas 2: Eliminació cap a la segona columna

• Fila 3 ← Fila 3 – \(\frac{7}{14}\) × Fila 2

\[\frac{7}{14} = \frac{1}{2}\]

\[\begin{bmatrix}1 & -3 & 7 & | & 10 \\0 & 14 & -34 & | & -42 \\0 & 0 & 0 & | & 0 \\\end{bmatrix}\]

Anàlisi i solució

La matriu resultant indica que el sistema té una dependència lineal, amb infinites solucions. El subsistema es redueix a:

• \( x – 3y + 7z = 10 \)

• \( 7y – 17z = -21 \)

Expressant \( y \) com a funció de \( z \) (on \( z = t \) és un paràmetre lliure):

\[y = \frac{17t – 21}{7}\]

Sustituint a la primera equació:

\[x – 3 \left( \frac{17t – 21}{7} \right) + 7t = 10\]

Multiplicant per 7:

\[7x – 3(17t – 21) + 49t = 70\]

\[7x – 51t + 63 + 49t = 70\]

\[7x – 2t + 63 = 70\]

\[7x = 2t + 7\]

\[x = \frac{2t + 7}{7}\]

Solució general

La solució del sistema, on \( t \) és un paràmetre lliure, és:

\[x = \frac{2t + 7}{7}, \quad y = \frac{17t – 21}{7}, \quad z = t\]