Solució del sistema d’equacions mitjançant el mètode de Cramer

Resoldre el següent sistema d’equacions utilitzant el mètode de Cramer: $$\begin{cases} 3x + 2y + z &= 1 \\ 5x + 3y + 4z &= 2 \\ x + y – z &= 1 \end{cases}$$

Pas 1: Calcular el determinant principal $D$

La matriu dels coeficients és:
$$\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}$$

El determinant $D$ es calcula com:
$$D = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \ 1 & -1 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 4 \ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 \ 1 & 1 \end{vmatrix}$$

• Primer terme: $3 \cdot [3 \cdot (-1) – 4 \cdot 1] = 3 \cdot [-3 – 4] = 3 \cdot [-7] = -21$
• Segon terme: $-2 \cdot [5 \cdot (-1) – 4 \cdot 1] = -2 \cdot [-5 – 4] = -2 \cdot [-9] = 18$
• Tercer terme: $1 \cdot [5 \cdot 1 – 3 \cdot 1] = 1 \cdot [5 – 3] = 1 \cdot 2 = 2$

$$D = -21 + 18 + 2 = -1$$

Com que $D \neq 0$, el sistema té una solució única.

Pas 2: Calcular $D_x$, $D_y$, $D_z$

• $D_x$: Reemplaçar la primera columna pels termes independents:
  $$D_x = \begin{vmatrix}
  1 & 2 & 1 \\
  2 & 3 & 4 \\
  1 & 1 & -1
  \end{vmatrix}$$
  $$D_x = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$
• Primer terme: $1 \cdot [3 \cdot (-1) – 4 \cdot 1] = -7$
• Segon terme: $-2 \cdot [2 \cdot (-1) – 4 \cdot 1] = -2 \cdot [-2 – 4] = -2 \cdot [-6] = 12$
• Tercer terme: $1 \cdot [2 \cdot 1 – 3 \cdot 1] = 1 \cdot [2 – 3] = -1$
  $$D_x = -7 + 12 – 1 = 4$$
• $D_y$: Reemplaçar la segona columna:
  $$D_y = \begin{vmatrix}
  3 & 1 & 1 \\
  5 & 2 & 4 \\
  1 & 1 & -1
  \end{vmatrix}$$
  $$D_y = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$
• Primer terme: $3 \cdot [2 \cdot (-1) – 4 \cdot 1] = 3 \cdot [-2 – 4] = -18$
• Segon terme: $-1 \cdot [5 \cdot (-1) – 4 \cdot 1] = -1 \cdot [-5 – 4] = 9$
• Tercer terme: $1 \cdot [5 \cdot 1 – 2 \cdot 1] = 1 \cdot [5 – 2] = 3$
  $$D_y = -18 + 9 + 3 = -6$$
• $D_z$: Reemplaçar la tercera columna:
  $$D_z = \begin{vmatrix}
  3 & 2 & 1 \\
  5 & 3 & 2 \\
  1 & 1 & 1
  \end{vmatrix}$$
  $$D_z = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$
• Primer terme: $3 \cdot [3 \cdot 1 – 2 \cdot 1] = 3 \cdot [3 – 2] = 3$
• Segon terme: $-2 \cdot [5 \cdot 1 – 2 \cdot 1] = -2 \cdot [5 – 2] = -6$
• Tercer terme: $1 \cdot [5 \cdot 1 – 3 \cdot 1] = 1 \cdot [5 – 3] = 2$
  $$D_z = 3 – 6 + 2 = -1$$

Pas 3: Calcular les variables

$$x = \frac{D_x}{D} = \frac{4}{-1} = -4$$
$$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-6}{-1} = 6$$
$$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{-1} = 1$$

Solució

La solució del sistema és:
$$x = -4, \quad y = 6, \quad z = 1$$

\end{document}