Sistemes d’equacions i els fons d’inversió

Una persona va invertir $54\,000\ \text{euros}$ en tres fons d’inversió: FIM, FIM Garantit i FIAM, i va obtenir $3\,600\ \text{€}$ d’interessos. Els interessos que van proporcionar els fons foren del $10\%$, $6\%$ i $4\%$ respectivament. Sabent que va invertir en el FIM el doble que en el FIAM, calcula quina quantitat va invertir en cada fons d’inversió.

Sigui $x$ la quantitat invertida en el FIAM.
Llavors, com que en el FIM s’hi inverteix el doble, hi tenim invertits $2x$.
Anomenem $y$ la quantitat invertida en el FIM Garantit.

Tenim les condicions següents:

1) $\textbf{Total invertit}$:
$$2x + x + y = 54\,000 \Rightarrow 3x + y = 54\,000.$$

2) $\textbf{Total d’interessos}$:
$$0.10(2x) + 0.06y + 0.04x = 3\,600.$$
$$0.20x + 0.06y + 0.04x = 3\,600 \Rightarrow
0.24x + 0.06y = 3\,600.$$

Substituïm $y = 54\,000 – 3x$ a la segona equació:
$$0.24x + 0.06(54\,000 – 3x) = 3\,600,$$
$$0.24x + 3\,240 – 0.18x = 3\,600,$$
$$0.06x = 360 \Rightarrow x = 6\,000.$$

Així doncs:
$$\text{FIAM} = x = 6\,000\ \text{€},$$
$$\text{FIM} = 2x = 12\,000\ \text{€},$$
$$\text{FIM Garantit} = y = 54\,000 – 18\,000 = 36\,000\ \text{€}.$$

$\textbf{Resposta final:}$
$$\boxed{\text{FIAM: } 6\,000\ \text{€}},
\boxed{\text{FIM: } 12\,000\ \text{€}},
\boxed{\text{FIM Garantit: } 36\,000\ \text{€}}.$$