Sistemes d’equacions. Agència immobiliària

Una agència immobiliària té tres locals en lloguer, pels quals ha cobrat un total de 1650 euros aquest mes. L’agència ha pagat al propietari del primer local el 95% de la quantitat que ha cobrat pel seu lloguer; al propietari del segon local, el 90% de la quantitat que ha cobrat pel seu lloguer; i al propietari del tercer local, el 80% de la quantitat que ha cobrat pel seu lloguer. Després d’aquests tres pagaments, a l’agència li han quedat 132 euros de guany. Es sap també que el lloguer que es cobra pel primer local és el doble de la suma del que es cobra pel lloguer dels altres dos locals junts. Quants euros cobra l’agència per cada un dels tres locals que té en lloguer?

Per resoldre el problema anterior mitjançant el mètode de Cramer, primer plantegem el sistema d’equacions lineals.

Sistema d’equacions

Denotem les quantitats que cobra l’agència per cada lloguer com a:

• $x$: quantitat cobrada pel primer local.
• $y$: quantitat cobrada pel segon local.
• $z$: quantitat cobrada pel tercer local.

Les condicions del problema es poden expressar amb el següent sistema d’equacions:

$$\begin{cases}
x + y + z = 1650 \\
0.05x + 0.10y + 0.20z = 132 \\
x = 2(y + z)
\end{cases}$$

Matriu del sistema

Podem escriure aquest sistema de la forma matricial $A \cdot X = B$, on:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0.05 & 0.10 & 0.20 \\
1 & -2 & -2
\end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}
1650 \\
132 \\
0
\end{pmatrix}$$

Determinant de la matriu $A$

Per aplicar el mètode de Cramer, primer hem de calcular el determinant de la matriu $A$.

$$\text{det}(A) = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0.05 & 0.10 & 0.20 \\
1 & -2 & -2
\end{vmatrix}$$

Desenvolupem aquest determinant:

$$\text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0.10 & 0.20 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 0.05 & 0.20 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0.05 & 0.10 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0.20 – 1 \cdot (-0.30) + 1 \cdot (-0.20) = 0.20 + 0.30 – 0.20 = 0.30$$

Determinants per trobar $x$, $y$ i $z$

El mètode de Cramer ens diu que el valor de cada variable es troba substituint la columna corresponent de la matriu $A$ per la columna $B$ i calculant el determinant resultant.

Determinant de $A_x$ (substituïm la primera columna de $A$ per $B$):

$$A_x = \begin{pmatrix}
1650 & 1 & 1 \\
132 & 0.10 & 0.20 \\
0 & -2 & -2
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_x$ es calcula de manera similar:

$$\text{det}(A_x) = 1650 \cdot \begin{vmatrix} 0.10 & 0.20 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 132 & 0.20 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 132 & 0.10 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 1650 \cdot 0.20 – 1 \cdot (132 \cdot -2) + 1 \cdot (132 \cdot -2) = 330 – (-264) + (-264) = 330 + 264 – 264 = 330$$

Determinant de $A_y$ (substituïm la segona columna de $A$ per $B$):

$$A_y = \begin{pmatrix}
1 & 1650 & 1 \\
0.05 & 132 & 0.20 \\
1 & 0 & -2
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_y$ es calcula de manera similar:

$$\text{det}(A_y) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 132 & 0.20 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} – 1650 \cdot \begin{vmatrix} 0.05 & 0.20 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0.05 & 132 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-264) – 1650 \cdot (-0.30) + 1 \cdot (-132) = -264 + 495 – 132 = 99$$

Determinant de $A_z$ (substituïm la tercera columna de $A$ per $B$):

$$A_z = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1650 \\
0.05 & 0.10 & 132 \\
1 & -2 & 0
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_z$ es calcula de manera similar:

$$\text{det}(A_z) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0.10 & 132 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 0.05 & 132 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1650 \cdot \begin{vmatrix} 0.05 & 0.10 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 264 – 1 \cdot (-132) + 1650 \cdot (-0.20) = 264 + 132 – 330= 66$$

Resolució final

Utilitzant les fórmules de Cramer, tenim:

$$x = \displaystyle\frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \displaystyle\frac{330}{0.30} = 1100$$

$$y = \displaystyle\frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \displaystyle\frac{99}{0.30} = 330$$

$$z = \displaystyle\frac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} = \displaystyle\frac{66}{0.30} = 220$$

Per tant, les quantitats que cobra l’agència per cada lloguer són:

• $x = 1100$ euros pel primer local.
• $y = 330$ euros pel segon local.
• $z = 220$ euros pel tercer local.