LEMNISCATA
Matemàtiques
La matriu de coeficients del sistema és:
$$A =
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$$
Calculem el determinant de la matriu $A$:
$$\text{Det}(A) =
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}$$
Aplicarem la regla de Sarrus per calcular el determinant:
$$\text{Det}(A) = 3 \cdot (3 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) – 2 \cdot (5 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) + 1 \cdot (5 \cdot 1 – 3 \cdot 1)$$
$$\text{Det}(A) = 3 \cdot (-3 – 4) – 2 \cdot (-5 – 4) + 1 \cdot (5 – 3)$$
$$\text{Det}(A) = 3 \cdot (-7) – 2 \cdot (-9) + 1 \cdot 2$$
$$\text{Det}(A) = -21 + 18 + 2 = -1$$
El determinant de la matriu $A$ és $-1$.
Ara hem de formar les matrius substituint cada columna per la columna dels termes independents ($1, 2, 1$).
Substituïm la primera columna de $A$ pels termes independents:
$$A_x =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$$
El determinant de $A_x$ és:
$$\text{Det}(A_x) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}$$
$$\text{Det}(A_x) = 1 \cdot (3 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) – 2 \cdot (2 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 1 – 3 \cdot 1)$$
$$\text{Det}(A_x) = 1 \cdot (-3 – 4) – 2 \cdot (-2 – 4) + 1 \cdot (2 – 3)$$
$$\text{Det}(A_x) = 1 \cdot (-7) – 2 \cdot (-6) + 1 \cdot (-1)$$
$$\text{Det}(A_x) = -7 + 12 – 1 = 4$$
Substituïm la segona columna de $A$ pels termes independents:
$$A_y =
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
5 & 2 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$$
El determinant de $A_y$ és:
$$\text{Det}(A_y) =
\begin{vmatrix}
3 & 1 & 1 \\
5 & 2 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}$$
$$\text{Det}(A_y) = 3 \cdot (2 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) – 1 \cdot (5 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) + 1 \cdot (5 \cdot 1 – 2 \cdot 1)$$
$$\text{Det}(A_y) = 3 \cdot (-2 – 4) – 1 \cdot (-5 – 4) + 1 \cdot (5 – 2)$$
$$\text{Det}(A_y) = 3 \cdot (-6) – 1 \cdot (-9) + 1 \cdot 3$$
$$\text{Det}(A_y) = -18 + 9 + 3 = -6$$
Substituïm la tercera columna de $A$ pels termes independents:
$$A_z =
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$
El determinant de $A_z$ és:
$$\text{Det}(A_z) =
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}$$
$$\text{Det}(A_z) = 3 \cdot (3 \cdot 1 – 2 \cdot 1) – 2 \cdot (5 \cdot 1 – 2 \cdot 1) + 1 \cdot (5 \cdot 1 – 3 \cdot 1)$$
$$\text{Det}(A_z) = 3 \cdot (3 – 2) – 2 \cdot (5 – 2) + 1 \cdot (5 – 3)$$
$$\text{Det}(A_z) = 3 \cdot 1 – 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2$$
$$\text{Det}(A_z) = 3 – 6 + 2 = -1$$
Finalment, apliquem la regla de Cramer per trobar les solucions:
$$x = \frac{\text{Det}(A_x)}{\text{Det}(A)} = \frac{4}{-1} = -4$$
$$y = \frac{\text{Det}(A_y)}{\text{Det}(A)} = \frac{-6}{-1} = 6$$
$$z = \frac{\text{Det}(A_z)}{\text{Det}(A)} = \frac{-1}{-1} = 1$$
La solució del sistema és:
$$x = -4, \quad y = 6, \quad z = 1$$