Sistema d’equacions per Cramer

Sistema d’equacions per Cramer
21 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Resoleu el següent sistema d’equacions

Per resoldre el sistema d’equacions mitjançant la regla de Cramer, hem de seguir aquests passos:

Recordem el sistema d’equacions:

\begin{equation}\left\{\begin{array}{rcl}3x + 2y + z &= 1 \\ 5x + 3y + 4z &= 2 \\ x + y – z &= 1\end{array}\right.\end{equation}

1. Matriu de coeficients i determinant

La matriu de coeficients del sistema és:

$$A =
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$$

Calculem el determinant de la matriu $A$:

$$\text{Det}(A) =
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}$$

Aplicarem la regla de Sarrus per calcular el determinant:

$$\text{Det}(A) = 3 \cdot (3 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) – 2 \cdot (5 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) + 1 \cdot (5 \cdot 1 – 3 \cdot 1)$$
$$\text{Det}(A) = 3 \cdot (-3 – 4) – 2 \cdot (-5 – 4) + 1 \cdot (5 – 3)$$
$$\text{Det}(A) = 3 \cdot (-7) – 2 \cdot (-9) + 1 \cdot 2$$
$$\text{Det}(A) = -21 + 18 + 2 = -1$$

El determinant de la matriu $A$ és $-1$.

2. Matrius substituïdes per a $x$, $y$ i $z$

Ara hem de formar les matrius substituint cada columna per la columna dels termes independents ($1, 2, 1$).

Determinant de $A_x$

Substituïm la primera columna de $A$ pels termes independents:

$$A_x =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_x$ és:

$$\text{Det}(A_x) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}$$
$$\text{Det}(A_x) = 1 \cdot (3 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) – 2 \cdot (2 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 1 – 3 \cdot 1)$$
$$\text{Det}(A_x) = 1 \cdot (-3 – 4) – 2 \cdot (-2 – 4) + 1 \cdot (2 – 3)$$
$$\text{Det}(A_x) = 1 \cdot (-7) – 2 \cdot (-6) + 1 \cdot (-1)$$
$$\text{Det}(A_x) = -7 + 12 – 1 = 4$$

Determinant de $A_y$

Substituïm la segona columna de $A$ pels termes independents:

$$A_y =
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
5 & 2 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_y$ és:

$$\text{Det}(A_y) =
\begin{vmatrix}
3 & 1 & 1 \\
5 & 2 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}$$
$$\text{Det}(A_y) = 3 \cdot (2 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) – 1 \cdot (5 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) + 1 \cdot (5 \cdot 1 – 2 \cdot 1)$$
$$\text{Det}(A_y) = 3 \cdot (-2 – 4) – 1 \cdot (-5 – 4) + 1 \cdot (5 – 2)$$
$$\text{Det}(A_y) = 3 \cdot (-6) – 1 \cdot (-9) + 1 \cdot 3$$
$$\text{Det}(A_y) = -18 + 9 + 3 = -6$$

Determinant de $A_z$

Substituïm la tercera columna de $A$ pels termes independents:

$$A_z =
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_z$ és:

$$\text{Det}(A_z) =
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}$$
$$\text{Det}(A_z) = 3 \cdot (3 \cdot 1 – 2 \cdot 1) – 2 \cdot (5 \cdot 1 – 2 \cdot 1) + 1 \cdot (5 \cdot 1 – 3 \cdot 1)$$
$$\text{Det}(A_z) = 3 \cdot (3 – 2) – 2 \cdot (5 – 2) + 1 \cdot (5 – 3)$$
$$\text{Det}(A_z) = 3 \cdot 1 – 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2$$
$$\text{Det}(A_z) = 3 – 6 + 2 = -1$$

3. Solucions

Finalment, apliquem la regla de Cramer per trobar les solucions:

$$x = \frac{\text{Det}(A_x)}{\text{Det}(A)} = \frac{4}{-1} = -4$$
$$y = \frac{\text{Det}(A_y)}{\text{Det}(A)} = \frac{-6}{-1} = 6$$
$$z = \frac{\text{Det}(A_z)}{\text{Det}(A)} = \frac{-1}{-1} = 1$$

Solució final:

La solució del sistema és:
$$x = -4, \quad y = 6, \quad z = 1$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *