Sistema d’equacions. Barrils de petroli

Un estat compra $540.000$ barrils de petroli a tres subministradors diferents que el venen a $27$, $28$ i $31$ \$ el barril, respectivament, la factura total puja a 16 milions de \$. Si del primer subministrador rep el $30\%$ del total del petroli comprat. Quina és la quantitat comprada a cada subministrador?

Per resoldre el problema, establirem un sistema d’equacions basat en la informació proporcionada sobre la compra de barrils de petroli a tres subministradors.

Definició de Variables

Definim les següents variables:

• $x_1$: quantitat de barrils comprats al primer subministrador (a $27$ \$ el barril)
• $x_2$: quantitat de barrils comprats al segon subministrador (a $28$ \$ el barril)
• $x_3$: quantitat de barrils comprats al tercer subministrador (a $31$ \$ el barril)

Informació Proporcionada

1. Total de barrils comprats:
   $$x_1 + x_2 + x_3 = 540.000 \tag{Equació 1}$$
2. Factura total:
   $$27x_1 + 28x_2 + 31x_3 = 16.000.000 \tag{Equació 2}$$
3. Quantitat comprada al primer subministrador ($30\%$ del total):
   $$x_1 = 0.30 \cdot 540.000 = 162.000 \tag{Equació 3}$$

Sustitució en el Sistema d’Ecuacions

Sustituïm $x_1$ en les altres dues equacions:

1. Sustituint a l’Equació 1:
   $$162.000 + x_2 + x_3 = 540.000$$
   $$x_2 + x_3 = 540.000 – 162.000$$
   $$x_2 + x_3 = 378.000 \tag{Ecuació 4}$$
2. Sustituint a l’Equació 2:
   $$27(162.000) + 28x_2 + 31x_3 = 16.000.000$$
   $$4.374.000 + 28x_2 + 31x_3 = 16.000.000$$
   Restant $4.374.000$ a ambdós costats:
   $$28x_2 + 31x_3 = 16.000.000 – 4.374.000$$
   $$28x_2 + 31x_3 = 11.626.000 \tag{Equació 5}$$

Sistema d’Ecuacions

Ara tenim el següent sistema d’equacions:

$$\begin{align} x_2 + x_3 &= 378.000 \quad \text{(Ecuació 4)}\ 28x_2 + 31x_3 &= 11.626.000 \quad \text{(Ecuació 5)} \end{align}$$

Resolent el Sistema d’Ecuacions

1. Despejant $x_3$ de l’Equació 4:
   $$x_3 = 378.000 – x_2$$
2. Sustituint $x_3$ a l’Equació 5:
   $$28x_2 + 31(378.000 – x_2) = 11.626.000$$
   $$28x_2 + 31 \cdot 378.000 – 31x_2 = 11.626.000$$
   $$(28 – 31)x_2 + 31 \cdot 378.000 = 11.626.000$$
   $$-3x_2 + 11.718.000 = 11.626.000$$
   $$-3x_2 = 11.626.000 – 11.718.000$$
   $$-3x_2 = -92.000$$
   $$x_2 = \frac{-92.000}{-3} \approx 30.666,67$$
3. Sustituint $x_2$ per trobar $x_3$:
   $$x_3 = 378.000 – 30.666,67 \approx 347.333,33$$

Resultats Finals

Ara que tenim $x_1$, $x_2$, i $x_3$:

• $x_1 = 162.000$ barrils (comprats al primer subministrador)
• $x_2 = 30.667$ barrils (comprats al segon subministrador)
• $x_3 = 347.333$ barrils (comprats al tercer subministrador)

Resum de Resultats

Per tant, la quantitat comprada a cada subministrador és:

• Subministrador 1 ($27$ $/barril): $162.000$ barrils
• Subministrador 2 ($28$ $/barril): $30.667$ barrils
• Subministrador 3 ($31$ $/barril): $347.333$ barrils