Sistema d’equacions. Barrils de petroli

Sistema d’equacions. Barrils de petroli
12 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Un estat compra $540.000$ barrils de petroli a tres subministradors diferents que el venen a $27$, $28$ i $31$ \$ el barril, respectivament, la factura total puja a 16 milions de \$. Si del primer subministrador rep el $30\%$ del total del petroli comprat. Quina és la quantitat comprada a cada subministrador?

Per resoldre el problema, establirem un sistema d’equacions basat en la informació proporcionada sobre la compra de barrils de petroli a tres subministradors.

Definició de Variables

Definim les següents variables:

  • $x_1$: quantitat de barrils comprats al primer subministrador (a $27$ \$ el barril)
  • $x_2$: quantitat de barrils comprats al segon subministrador (a $28$ \$ el barril)
  • $x_3$: quantitat de barrils comprats al tercer subministrador (a $31$ \$ el barril)

Informació Proporcionada

  1. Total de barrils comprats:
    $$x_1 + x_2 + x_3 = 540.000 \tag{Equació 1}$$
  2. Factura total:
    $$27x_1 + 28x_2 + 31x_3 = 16.000.000 \tag{Equació 2}$$
  3. Quantitat comprada al primer subministrador ($30\%$ del total):
    $$x_1 = 0.30 \cdot 540.000 = 162.000 \tag{Equació 3}$$

Sustitució en el Sistema d’Ecuacions

Sustituïm $x_1$ en les altres dues equacions:

  1. Sustituint a l’Equació 1:
    $$162.000 + x_2 + x_3 = 540.000$$
    $$x_2 + x_3 = 540.000 – 162.000$$
    $$x_2 + x_3 = 378.000 \tag{Ecuació 4}$$
  2. Sustituint a l’Equació 2:
    $$27(162.000) + 28x_2 + 31x_3 = 16.000.000$$
    $$4.374.000 + 28x_2 + 31x_3 = 16.000.000$$
    Restant $4.374.000$ a ambdós costats:
    $$28x_2 + 31x_3 = 16.000.000 – 4.374.000$$
    $$28x_2 + 31x_3 = 11.626.000 \tag{Equació 5}$$

Sistema d’Ecuacions

Ara tenim el següent sistema d’equacions:

$$\begin{align} x_2 + x_3 &= 378.000 \quad \text{(Ecuació 4)}\ 28x_2 + 31x_3 &= 11.626.000 \quad \text{(Ecuació 5)} \end{align}$$

Resolent el Sistema d’Ecuacions

  1. Despejant $x_3$ de l’Equació 4:
    $$x_3 = 378.000 – x_2$$
  2. Sustituint $x_3$ a l’Equació 5:
    $$28x_2 + 31(378.000 – x_2) = 11.626.000$$
    $$28x_2 + 31 \cdot 378.000 – 31x_2 = 11.626.000$$
    $$(28 – 31)x_2 + 31 \cdot 378.000 = 11.626.000$$
    $$-3x_2 + 11.718.000 = 11.626.000$$
    $$-3x_2 = 11.626.000 – 11.718.000$$
    $$-3x_2 = -92.000$$
    $$x_2 = \frac{-92.000}{-3} \approx 30.666,67$$
  3. Sustituint $x_2$ per trobar $x_3$:
    $$x_3 = 378.000 – 30.666,67 \approx 347.333,33$$

Resultats Finals

Ara que tenim $x_1$, $x_2$, i $x_3$:

  • $x_1 = 162.000$ barrils (comprats al primer subministrador)
  • $x_2 = 30.667$ barrils (comprats al segon subministrador)
  • $x_3 = 347.333$ barrils (comprats al tercer subministrador)

Resum de Resultats

Per tant, la quantitat comprada a cada subministrador és:

  • Subministrador 1 ($27$ $/barril): $162.000$ barrils
  • Subministrador 2 ($28$ $/barril): $30.667$ barrils
  • Subministrador 3 ($31$ $/barril): $347.333$ barrils
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *