Sistema d’equacions

Resoleu el sistema següent $$\begin{cases}x – 3y – 2z = 7 \\ 2x – y + 15z = 3 \\ x – 8y – 21z = 1\end{cases}$$

Per resoldre el sistema d’equacions mitjançant el mètode de Gauss, comencem amb el sistema donat:

$$\begin{cases}x – 3y – 2z = 7 \\ 2x – y + 15z = 3 \\ x – 8y – 21z = 1\end{cases}$$

Construïm la matriu augmentada:

$$\begin{bmatrix}
1 & -3 & -2 & | & 7 \\
2 & -1 & 15 & | & 3 \\
1 & -8 & -21 & | & 1
\end{bmatrix}$$

Pas 1: Eliminació cap a la primera columna

• Fila 2 ← Fila 2 – 2 × Fila 1
  $$\begin{bmatrix}
  1 & -3 & -2 & | & 7 \\
  2 – 2 \cdot 1 & -1 – 2 \cdot (-3) & 15 – 2 \cdot (-2) & | & 3 – 2 \cdot 7 \\
  1 & -8 & -21 & | & 1
  \end{bmatrix}$$
  $$= \begin{bmatrix}
  1 & -3 & -2 & | & 7 \\
  0 & 5 & 19 & | & -11 \\
  1 & -8 & -21 & | & 1
  \end{bmatrix}$$
• Fila 3 ← Fila 3 – Fila 1
  $$\begin{bmatrix}
  1 & -3 & -2 & | & 7 \\
  0 & 5 & 19 & | & -11 \\
  1 – 1 & -8 – (-3) & -21 – (-2) & | & 1 – 7
  \end{bmatrix}$$
  $$= \begin{bmatrix}
  1 & -3 & -2 & | & 7 \\
  0 & 5 & 19 & | & -11 \\
  0 & -5 & -19 & | & -6
  \end{bmatrix}$$

Pas 2: Eliminació cap a la segona columna

• Fila 3 ← Fila 3 + Fila 2
  $$\begin{bmatrix}
  1 & -3 & -2 & | & 7 \\
  0 & 5 & 19 & | & -11 \\
  0 + 0 & -5 + 5 & -19 + 19 & | & -6 + (-11)
  \end{bmatrix}$$
  $$= \begin{bmatrix}
  1 & -3 & -2 & | & 7 \\
  0 & 5 & 19 & | & -11 \\
  0 & 0 & 0 & | & -17
  \end{bmatrix}$$

Anàlisi

La fila 3 $(0, 0, 0 | -17)$ indica una contradicció, ja que 0 ≠ -17. Això significa que el sistema d’equacions no té solució, ja que és inconsistent.

Conclusió: El sistema no té solució.