Setembre de 2011 – Sèrie 2 – Qüestió 1

Donada la matriu $M = \left( \begin{array}{ccc} k+1 & 1 & 1 \\ 0 & k-2 & 1 \\ 0 & k-2 & -k \end{array} \right)$: a) Calculeu els valors del paràmetre $k$ per als quals la matriu $M$ no és invertible. b) Per a $k=0$, calculeu$ M^{-1}$.

a) Calculeu els valors del paràmetre $k$ per als quals la matriu $M$ no és invertible.

La matriu $M$ no serà invertible si $|M| = 0$. Per tant hem de calcular el determinant i veure quan s’anul·la:

$$|M| = \left| \begin{array}{ccc} k+1&1&1 \\ 0&k-2&1 \\ 0&k-2&-k \end{array} \right| = -(k+1)^2 (k-2)$$

$$|M| = 0 \Rightarrow k \in \left \lbrace -1,2 \right \rbrace$$

b) Per a $k=0$, calculeu$ M^{-1}$.

$$\begin{align} k=0 \quad & \Rightarrow \quad M = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \end{array} \right) \\ & \Rightarrow \quad M^* = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \end{array} \right) \\ & \Rightarrow \quad (M^*)^T = \left( \begin{array}{rrr} 2 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \end{array} \right) \\ & \Rightarrow \quad M^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & \textstyle \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \textstyle -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \\ \end{align}$$