Resolució sistema d’equacions pel mètode de Gauss

Resol $$\left\{\begin{array}{rcl}-2x + 2y + 4z &=& 0 \\-x – 5y + 2z &=& 3 \\ 3x – 2y – 2z &=& -5\end{array}\right.$$ pel mètode de Gauss

Per resoldre el sistema d’equacions lineals pel mètode de Gauss, hem de transformar la matriu augmentada del sistema en una forma esglaonada (o idealment esglaonada reduïda) mitjançant operacions elementals de files. El sistema donat és:\[\left\{\begin{array}{rcl}-2x + 2y + 4z &=& 0 \\-x – 5y + 2z &=& 3 \\3x – 2y – 2z &=& -5\end{array}\right.\]

Pas 1: Escriure la matriu augmentada. La matriu augmentada del sistema, que inclou els coeficients de les variables i els termes independents, és:\[\begin{bmatrix}-2 & 2 & 4 & | & 0 \\-1 & -5 & 2 & | & 3 \\3 & -2 & -2 & | & -5\end{bmatrix}\]

Pas 2: Aplicar el mètode de Gauss. L’objectiu és obtenir zeros sota la diagonal principal i, si és possible, simplificar les files per facilitar la resolució.

Operació 1: Fer que el pivot de la primera columna sigui 1. La primera fila té un pivot de \(-2\). Per fer-lo 1, dividim la primera fila per \(-2\):\[F_1 \leftarrow \frac{F_1}{-2}\]\[\frac{-2}{-2} = 1, \quad \frac{2}{-2} = -1, \quad \frac{4}{-2} = -2, \quad \frac{0}{-2} = 0\]Nova matriu:\[\begin{bmatrix}1 & -1 & -2 & | & 0 \\-1 & -5 & 2 & | & 3 \\3 & -2 & -2 & | & -5\end{bmatrix}\]

Operació 2: Eliminar els elements de la primera columna sota el pivot

• Per la segona fila (\(F_2\)), fem \(F_2 \leftarrow F_2 + F_1\), ja que el coeficient és \(-1\):\[F_2: [-1 + 1, -5 + (-1), 2 + (-2), 3 + 0] = [0, -6, 0, 3]\]

• Per la tercera fila (\(F_3\)), fem \(F_3 \leftarrow F_3 – 3F_1\), ja que el coeficient és \(3\):\[F_3: [3 – 3 \cdot 1, -2 – 3 \cdot (-1), -2 – 3 \cdot (-2), -5 – 3 \cdot 0] = [0, 1, 4, -5]\]Nova matriu:\[\begin{bmatrix}1 & -1 & -2 & | & 0 \\0 & -6 & 0 & | & 3 \\0 & 1 & 4 & | & -5\end{bmatrix}\]

Operació 3: Fer que el pivot de la segona columna sigui 1. El pivot de la segona fila és \(-6\). Dividim la segona fila per \(-6\):\[F_2 \leftarrow \frac{F_2}{-6}\]\[\frac{0}{-6} = 0, \quad \frac{-6}{-6} = 1, \quad \frac{0}{-6} = 0, \quad \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}\]Nova matriu:\[\begin{bmatrix}1 & -1 & -2 & | & 0 \\0 & 1 & 0 & | & -\frac{1}{2} \\0 & 1 & 4 & | & -5\end{bmatrix}\]

Operació 4: Eliminar els elements de la segona columna sota i sobre el pivot

• Per la primera fila (\(F_1\)), fem \(F_1 \leftarrow F_1 + F_2\), ja que el coeficient és \(-1\):\[F_1: [1 + 0, -1 + 1, -2 + 0, 0 + \left(-\frac{1}{2}\right)] = [1, 0, -2, -\frac{1}{2}]\]

• Per la tercera fila (\(F_3\)), fem \(F_3 \leftarrow F_3 – F_2\), ja que el coeficient és \(1\):\[F_3: [0 – 0, 1 – 1, 4 – 0, -5 – \left(-\frac{1}{2}\right)] = [0, 0, 4, -5 + \frac{1}{2}] = [0, 0, 4, -\frac{9}{2}]\]Nova matriu:\[\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & | & -\frac{1}{2} \\0 & 1 & 0 & | & -\frac{1}{2} \\0 & 0 & 4 & | & -\frac{9}{2}\end{bmatrix}\]

Operació 5: Fer que el pivot de la tercera columna sigui 1. El pivot de la tercera fila és \(4\). Dividim la tercera fila per \(4\):\[F_3 \leftarrow \frac{F_3}{4}\]\[\frac{0}{4} = 0, \quad \frac{0}{4} = 0, \quad \frac{4}{4} = 1, \quad \frac{-\frac{9}{2}}{4} = -\frac{9}{8}\]Nova matriu:\[\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & | & -\frac{1}{2} \\0 & 1 & 0 & | & -\frac{1}{2} \\0 & 0 & 1 & | & -\frac{9}{8}\end{bmatrix}\]

Operació 6: Eliminar els elements de la tercera columna sobre el pivot

• Per la primera fila (\(F_1\)), fem \(F_1 \leftarrow F_1 + 2F_3\), ja que el coeficient és \(-2\):\[F_1: \left[1 + 2 \cdot 0, 0 + 2 \cdot 0, -2 + 2 \cdot 1, -\frac{1}{2} + 2 \cdot \left(-\frac{9}{8}\right)\right]\]\[-\frac{1}{2} + 2 \cdot \left(-\frac{9}{8}\right) = -\frac{4}{8} – \frac{18}{8} = -\frac{22}{8} = -\frac{11}{4}\]\[F_1: [1, 0, 0, -\frac{11}{4}]\] La segona fila no necessita canvis, ja que ja té un 0 a la tercera columna. Nova matriu:\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & | & -\frac{11}{4} \\0 & 1 & 0 & | & -\frac{1}{2} \\0 & 0 & 1 & | & -\frac{9}{8}\end{bmatrix}\]

Pas 3: Interpretar la matriu. La matriu està en forma esglaonada reduïda. Cada fila correspon a una equació:\[\begin{array}{rcl}x &=& -\frac{11}{4} \\y &=& -\frac{1}{2} \\z &=& -\frac{9}{8}\end{array}\]Per tant, la solució del sistema és:\[x = -\frac{11}{4}, \quad y = -\frac{1}{2}, \quad z = -\frac{9}{8}\]

Resposta final:\[\boxed{x = -\frac{11}{4}, \quad y = -\frac{1}{2}, \quad z = -\frac{9}{8}}\]