Resolució sistema d’equacions pel mètode de Gauss

Resol el següent sistema d’equacions: $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2, \\ x_1 – x_2 + x_3 = 0, \\ x_1 + 3x_2 – x_3 = -2\end{cases}$$

Pas 1: Escriure la matriu ampliada

Primer, construïm la matriu ampliada amb els coeficients de $x_1$, $x_2$ i $x_3$ de cada equació, juntament amb els termes independents (els valors a la dreta de les equacions):

$$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 2 \\
1 & -1 & 1 & | & 0 \\
1 & 3 & -1 & | & -2
\end{bmatrix}$$

Pas 2: Aplicar operacions de files per obtenir una forma triangular

L’objectiu és utilitzar operacions de files per fer que tots els elements per sota de la diagonal principal (els 1 de la primera columna, per sota de la primera fila) siguin zero, i després continuar amb les columnes següents.

Eliminar $x_1$ de les files 2 i 3

• Fila 2: Restem la fila 1 de la fila 2 ($F_2 \gets F_2 – F_1$):
  $$[1 – 1, -1 – 2, 1 – 3, 0 – 2] = [0, -3, -2, -2]$$
• Fila 3: Restem la fila 1 de la fila 3 ($F_3 \gets F_3 – F_1$):
  $$[1 – 1, 3 – 2, -1 – 3, -2 – 2] = [0, 1, -4, -4]$$

Ara la matriu és:

$$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 2 \\
0 & -3 & -2 & | & -2 \\
0 & 1 & -4 & | & -4
\end{bmatrix}$$

Eliminar $x_2$ de la fila 3

El pivot de la segona columna és (-3) (de la fila 2). Hem de fer que l’element de la fila 3, columna 2 (que és 1) sigui zero. Per fer-ho, fem l’operació $F_3 \gets F_3 + \frac{1}{3}F_2$:

Primer, calculem (\frac{1}{3}F_2):
$$\frac{1}{3}[-3, -2, -2] = [-1, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}]$$

Ara, $F_3 \gets F_3 + \frac{1}{3}F_2$:
$$[0 + 0, 1 + (-1), -4 + (-\frac{2}{3}), -4 + (-\frac{2}{3})] = [0, 0, -\frac{14}{3}, -\frac{14}{3}]$$

La matriu ara és:

$$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 2 \\
0 & -3 & -2 & | & -2 \\
0 & 0 & -\frac{14}{3} & | & -\frac{14}{3}
\end{bmatrix}$$

Pas 3: Substitució enrere

Ara que la matriu està en forma triangular superior, podem resoldre el sistema mitjançant substitució enrere.

Calcular $x_3$ (de la fila 3):

$$-\frac{14}{3}x_3 = -\frac{14}{3}$$
$$x_3 = \frac{-\frac{14}{3}}{-\frac{14}{3}} = 1$$

Calcular $x_2$ (de la fila 2):

$$-3x_2 – 2x_3 = -2$$
Substituint $x_3 = 1$:
$$-3x_2 – 2(1) = -2$$
$$-3x_2 – 2 = -2$$
$$-3x_2 = 0$$
$$x_2 = 0$$

Calcular $x_1$ (de la fila 1):

$$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2$$
Substituint $x_2 = 0$ i $x_3 = 1$:
$$x_1 + 2(0) + 3(1) = 2$$
$$x_1 + 3 = 2$$
$$x_1 = 2 – 3 = -1$$

Pas 4: Solució

La solució del sistema és:
$$x_1 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1$$

Pas 5: Verificar la solució

Substituírem $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ i $x_3 = 1$ a les equacions originals per comprovar que és correcta:

• Equació 1: $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2$
  $$-1 + 2(0) + 3(1) = -1 + 0 + 3 = 2 \quad \text{(Correcte)}$$
• Equació 2: $x_1 – x_2 + x_3 = 0$
  $$-1 – 0 + 1 = 0 \quad \text{(Correcte)}$$
• Equació 3: $x_1 + 3x_2 – x_3 = -2$
  $$-1 + 3(0) – 1 = -1 – 1 = -2 \quad \text{(Correcte)}$$

La solució compleix totes les equacions, per tant, és correcta.

Resposta final:

La solució del sistema d’equacions lineals és:
$$\boxed{x_1 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1}$$