Resolució d’equacions Diferencials Lineals

Trobar la solució de l’equació:\[\frac{dy}{dx} – \frac{2}{x+1} y = (x+1)^3.\]

Fem:\[y = u v.\]Llavors:\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + \frac{du}{dx} v.\]Substituint l’expressió de \(\frac{dy}{dx}\) a l’equació inicial, tenim:\[u \frac{dv}{dx} + \frac{du}{dx} v – \frac{2}{x+1} u v = (x+1)^3,\]\[u \left( \frac{dv}{dx} – \frac{2}{x+1} v \right) + v \frac{du}{dx} = (x+1)^3.\]Per determinar \(v\), obtenim l’equació:\[\frac{dv}{dx} – \frac{2}{x+1} v = 0,\]és a dir,\[\frac{dv}{v} = \frac{2 dx}{x+1},\]d’on:\[\ln v = 2 \ln (x+1).\]

O sia,\[v = (x+1)^2.\]Substituint l’expressió de la funció \(v\) a l’equació (7), obtenim l’equació per determinar \(u\):\[(x+1)^2 \frac{du}{dx} = (x+1)^3,\]o bé,\[\frac{du}{dx} = (x+1),\]d’on:\[u = \frac{(x+1)^2}{2} + C.\]Per tant, la integral general de l’equació donada tindrà la forma:\[y = \frac{(x+1)^4}{2} + C (x+1)^2.\]La família obtinguda és la solució general. Sigui quina sigui la condició inicial \((x_0, y_0)\), on \(x_0 \neq -1\), sempre es pot escollir \(C\) de manera que la solució particular corresponent satisfaci la condició inicial donada. Per exemple, la solució particular que satisfà la condició \(y_0 = 3\) per a \(x_0 = 0\) es troba de la manera següent:\[3 = \frac{(0+1)^4}{2} + C (0+1)^2; \quad C = \frac{5}{2}.\]Per tant, la solució particular buscada és:\[y = \frac{(x+1)^4}{2} + \frac{5}{2} (x+1)^2.\]Tanmateix, si es pren la condició inicial \((x_0, y_0)\) de manera que \(x_0 = -1\), no serà possible trobar una solució particular que satisfaci aquesta condició. Això s’explica pel fet que la funció \(P(x) = -\frac{2}{x+1}\) és discontínua en el punt \(x_0 = -1\) i, per tant, no es compleixen les condicions del teorema de l’existència de la solució.