Разматрање система према параметру

Размотримо, у зависности од параметра $\lambda$, следећи систем једначина:
$$\begin{cases}
x + y – z = \lambda \\
\lambda x + 2y – z = 3\lambda \\
2x + \lambda y – z = 6
\end{cases}$$

ПРВО. Израчунајмо ранг матрице $A$ узимајући у обзир вредности параметра.
$$|A| = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
\lambda & 2 & -1 \\
2 & \lambda & -1
\end{vmatrix}
= -\lambda^2 + 2\lambda$$
Решење (-\lambda^2 + 2\lambda = 0) даје:
$$\begin{cases}
\lambda = 0 \\
\lambda = 2
\end{cases}$$
Ако (\lambda \neq 0) и (\lambda \neq 2), онда (\mathrm{ранг}(A) = 3).
Ако (\lambda = 0) или (\lambda = 2), онда:
$$\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{vmatrix} \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{ранг}(A) = 2$$

ДРУГО. Израчунајмо ранг проширене матрице $A^*$ узимајући у обзир параметре које смо добили.
$$A^ =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & \mid & \lambda \\
\lambda & 2 & -1 & \mid & 3\lambda \\
2 & \lambda & -1 & \mid & 6
\end{pmatrix}$$

• Ако $\lambda \neq 0$ и $\lambda \neq 2$, онда $\mathrm{ранг}(A) = 3 = \mathrm{ранг}(A^*)$.
• Ако $\lambda = 0$, онда $\mathrm{ранг}(A) = 2$ и
  $$A^* =
  \begin{pmatrix}
  1 & 1 & -1 & \mid & 0 \\
  0 & 2 & -1 & \mid & 0 \\
  2 & 0 & -1 & \mid & 6
  \end{pmatrix}
  \quad
  \begin{vmatrix}
  1 & 1 & 0 \\
  0 & 2 & 0 \\
  2 & 0 & 6
  \end{vmatrix}
  \neq 0
  \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{ранг}(A^*) = 3$$
• Ако (\lambda = 2), онда (\mathrm{ранг}(A) = 2) и
  $$A^* =
  \begin{pmatrix}
  1 & 1 & -1 & \mid & 2 \\
  2 & 2 & -1 & \mid & 6 \\
  2 & 2 & -1 & \mid & 6
  \end{pmatrix}
  \quad\Longrightarrow\quad
  \begin{vmatrix}
  1 & -1 \\
  2 & -1
  \end{vmatrix}
  \neq 0
  \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{ранг}(A^*) = 2$$

ТРЕЋЕ. Применимо теорему Émile Borel-Félix Fröbenius (тј. Teorema Rouché‑Fröbenius).

• Ако $\lambda \neq 0$ и $\lambda \neq 2$: $\mathrm{ранг}(A) = \mathrm{ранг}(A^*) = 3$ = број једначина. Систем је компатибилан и одређен.
• Ако $\lambda = 0$: $\mathrm{ранг}(A) = 2 \neq \mathrm{ранг}(A^*) = 3$. Систем је некoмпатибилан.
• Ако $\lambda = 2$: $\mathrm{ранг}(A) = \mathrm{ранг}(A^*) = 2 <$ број једначина. Систем је компатибилан и неодређен.