Prova del límit (\lim_{x \to 0} f(x) = 0) mitjançant la definició ((\epsilon, \delta))

Considerem la funció definida a trossos: $$f(x) = \begin{cases}2x & \text{si } x < 0, \\ 3x & \text{si } x \geq 0. \end{cases}$$ Hem de provar, usant la definició ($\epsilon, \delta$), que: $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0.$$ És a dir, per a tot $\epsilon > 0$, existeix $\delta > 0$ tal que: $$0 < |x| < \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)| < \epsilon.$$ Donats diversos valors de $\delta$ proposats, hem d’assenyalar quin verifica aquesta implicació.

Pas 1: Anàlisi de $|f(x)|$

• Si $x < 0$: $f(x) = 2x \implies |f(x)| = |2x| = 2|x|$,
• Si $x \geq 0$: $f(x) = 3x \implies |f(x)| = 3x = 3|x|$ (ja que $x \geq 0$).

Per tant, en ambdós casos:
$$|f(x)| \leq 3|x| \quad \text{per a tot } x \neq 0.$$

Pas 2: Aplicació de la definició ($\epsilon, \delta$)

Volem:
$$0 < |x| < \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)| < \epsilon.$$
Com que $|f(x)| \leq 3|x|$, si fem:
$$3|x| < \epsilon \quad \Rightarrow \quad |x| < \frac{\epsilon}{3},$$
llavors automàticament $|f(x)| < \epsilon$.

Per tant, podem triar:
$$\boxed{\delta = \frac{\epsilon}{3}}.$$

Pas 3: Verificació formal

Siguin $\epsilon > 0$ i $\delta = \frac{\epsilon}{3}$.
Si $0 < |x| < \delta$, aleshores:
$$|x| < \frac{\epsilon}{3} \quad \Rightarrow \quad 3|x| < \epsilon \quad \Rightarrow \quad |f(x)| \leq 3|x| < \epsilon.$$
Per tant, la definició es compleix.

Resposta final

L’únic $\delta$ que verifica la condició $0 < |x| < \delta \Rightarrow |f(x)| < \epsilon) per a tot (\epsilon > 0$ és:
$$\boxed{\delta = \dfrac{\epsilon}{3}}$$