Processos adiabàtics

Un volum \( V_1 = 1 \, \text{L} \) d’un gas a \( T = 20^\circ \text{C} \) s’expandeix des d’una pressió inicial de \( p_1 = 12 \, \text{atm} \) fins a assolir un volum de \( V_2 = 10 \, \text{L} \). Determina el treball \( W \) realitzat durant l’expansió: a) Quan l’expansió és isotèrmica. b) Quan l’expansió és adiabàtica amb \( \gamma = 1,4 \). c) Dibuixa en un diagrama \( pV \) els dos processos.

a) L’expansió isotèrmica segueix: \[p_1 V_1 = nRT \ln \frac{V_2}{V_1} \rightarrow nRT = p_1 V_1\] Llavors, \[W_{1-2} = p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} = 12 \, \text{atm} \cdot 101300 \, \text{Pa/atm} \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 \cdot \ln \frac{10^{-2} \, \text{m}^3}{10^{-3} \, \text{m}^3} = 2799,7 \, \text{J}\] \[p_1 V_1 = p_2 V_2 \rightarrow 12 \cdot 1 = p_2 \cdot 10 \rightarrow p_2 = 1,2 \, \text{atm} = 121560 \, \text{Pa}\]

b) L’expansió adiabàtica: \[W_{1-2} = \frac{p_2 V_2 – p_1 V_1}{1 – \gamma}\] \[p_1 V_1^\gamma = p_2 V_2^\gamma\] \[12 \, \text{atm} \cdot 1^{1,4} = p_2 \cdot 10^{1,4} \rightarrow p_2 = 0,4777 \, \text{atm} = 48394 \, \text{Pa}\] \[W_{1-2} = \frac{48394 \cdot 10^{-2} – 12 \cdot 101300 \cdot 10^{-3}}{1 – 1,4} = 1829,2 \, \text{J}\]

c)