LEMNISCATA
Matemàtiques
L’estructura metàl·lica del magnesi consisteix en una xarxa hexagonal compacta (HCP). La distància Mg-Mg , determinada per mètodes de raigs X, és de $3,2$ Å. Calcula la densitat del magnesi metàl·lic. Massa molar del magnesi $24,312$ g/mol
Per calcular la densitat del magnesi metàl·lic en una estructura hexagonal compacta (HCP), seguirem aquests passos:
L’estructura HCP té un nombre de coordinació de $12$ i es pot descriure en termes de dos paràmetres de xarxa: $a$ (el costat del hexàgon) i $c$ (l’altura de la cel·la unitària).
La distància entre àtoms (Mg-Mg) (que correspon a $a$) és de $3,2 \, \text{Å}$.
$$a = 3,2 \, \text{Å} = 3,2 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$
La relació entre $c$ i $a$ en una cel·la HCP és aproximadament:
$$c \approx 1,633 a$$
Per tant:
$$c \approx 1,633 \times 3,2 \, \text{Å} = 5,22 \, \text{Å} = 5,22 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$
El volum de la cel·la unitària $V_{\text{HCP}}$ es calcula com:
$$V_{\text{HCP}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 c$$
Substituïm els valors:
$$V_{\text{HCP}} = 3\frac{\sqrt{3}}{2} (3,2 \times 10^{-8} \, \text{cm})^2 (5,22 \times 10^{-8} \, \text{cm}) = 1.39\cdot10^{-22} \, \text{cm}^3$$
En l’estructura HCP, hi ha $6$ àtoms per cel·la unitària.
La massa de la cel·la unitària es calcula multiplicant el nombre d’àtoms per la massa atòmica (o molar) del magnesi, convertida a grams:
$$\text{Massa de la cel·la} = \frac{24,312 \, \text{g/mol}}{6,022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}} \times 6 \, \text{àtoms}$$
Calculant:
$$\text{Massa de la cel·la} \approx \frac{24,312 \, \text{g/mol}}{6,022 \times 10^{23}} \times 6 \approx 2,43 \times 10^{-22} \, \text{g}$$
La densitat $\rho$ es calcula com:
$$\rho = \frac{\text{massa de la cel·la}}{\text{volum de la cel·la}}$$
Substituint els valors:
$$\rho = \frac{2,43 \times 10^{-22} \, \text{g}}{1.39\cdot10^{-22} \, \text{cm}^3} \approx 1.74\, \text{g/cm}^3$$