Problema sobre xarxes cristal·lines 17

La densitat del potassi, que té una estructura BCC, és $0.855$ g/cm$^3$ pes atòmic és $39.09$ g/mol considerant les dades anteriors, calcular: a) el paràmetre reticular i b) el radi atòmic de l’àtom

1. Relació entre densitat, pes atòmic, i paràmetre de xarxa

Sabem que la densitat $\rho$ d’un metall està relacionada amb el paràmetre de xarxa $a$, el nombre d’àtoms per cel·la unitaria $n$, el pes atòmic $A$, i la constant d’Avogadro $N_A$, a través de la següent fórmula:

$$\rho = \frac{n \cdot A}{a^3 \cdot N_A}$$

Per a una estructura BCC, el nombre d’àtoms per cel·la unitària és $n = 2$. La densitat $\rho$ del potassi és $0.855 \, \text{g/cm}^3$, el pes atòmic $A = 39.09 \, \text{g/mol}$, i la constant d’Avogadro $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$.

Substituïm els valors a la fórmula i resolem per $a$:

$$0.855 = \frac{2 \cdot 39.09}{a^3 \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$

Multipliquem els valors:

$$0.855 = \frac{78.18}{a^3 \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$

Resolem per $a^3$:

$$a^3 = \frac{78.18}{0.855 \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$

$$a^3 = 1.518 \times 10^{-22} \, \text{cm}^3$$

Ara trobem (a) prenent l’arrel cúbica:

$$a = \sqrt[3]{1.518 \times 10^{-22}} = 5.32 \times 10^{-8} \, \text{cm} = 5.32 \, \text{Å}$$

2. Càlcul del radi atòmic

En una estructura BCC, la relació entre el paràmetre de xarxa $a$ i el radi atòmic $r$ és:

$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$

Ara, podem resoldre per $r$:

$$r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{4}$$

Substituïm el valor de $a = 5.32 \, \text{Å}$:

$$r = \frac{5.32 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{9.22}{4} = 2.305 \, \text{Å}$$

Resum:

• Paràmetre reticular: $a = 5.32 \, \text{Å}$
• Radi atòmic: $r = 2.305 \, \text{Å}$