Problema sobre xarxes cristal·lines 18

La densitat del tori, que cristal·litza amb una estructura FCC, és $11.72$ g/cm$^3$ Obtingueu el paràmetre de xarxa i el radi atòmic de l’element sabent que el seu pes atòmic és $232$ g/mol

1. Relació entre densitat, pes atòmic, i paràmetre de xarxa

Per a una estructura FCC, la densitat $\rho$ es relaciona amb el pes atòmic $A$, el nombre d’àtoms per cel·la unitària $n$, el paràmetre de xarxa $a$, i la constant d’Avogadro $N_A$ segons la fórmula:

$$\rho = \frac{n \cdot A}{a^3 \cdot N_A}$$

En una estructura FCC, el nombre d’àtoms per cel·la unitària és $n = 4$. Sabem que:

• La densitat $\rho = 11.72 \, \text{g/cm}^3$
• El pes atòmic $A = 232 \, \text{g/mol}$
• La constant d’Avogadro $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$

Substituïm aquests valors a la fórmula i resolem per (a):

$$11.72 = \frac{4 \cdot 232}{a^3 \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$

Multipliquem els valors:

$$11.72 = \frac{928}{a^3 \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$

Resolem per $a^3$:

$$a^3 = \frac{928}{11.72 \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$

$$a^3 = \frac{928}{7.056 \times 10^{23}}$$

$$a^3 = 1.315 \times 10^{-21} \, \text{cm}^3$$

Ara trobem (a) prenent l’arrel cúbica:

$$a = \sqrt[3]{1.315 \times 10^{-21}} = 5.08 \times 10^{-8} \, \text{cm} = 5.08 \, \text{Å}$$

2. Càlcul del radi atòmic

En una estructura FCC, la relació entre el paràmetre de xarxa $a$ i el radi atòmic $r$ és:

$$a = 2\sqrt{2}r$$

Resolem per $r$:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$$

Substituïm el valor de $a = 5.08 \, \text{Å}$:

$$r = \frac{5.08}{2\sqrt{2}} = \frac{5.08}{2 \times 1.414} = \frac{5.08}{2.828} = 1.796 \, \text{Å}$$

Resum:

• Paràmetre de xarxa: $a = 5.08 \, \text{Å}$
• Radi atòmic: $r = 1.796 \, \text{Å}$