Problema sobre xarxes cristal·lines 16

Determinar l’estructura cristal·lina en els casos següents: a) un metall amb $a = 4.9489$ Å i radi atòmic $r = 1.75$ Å b) i un metall amb $a = 0.42906$ nm i $r = 0.1858$ nm

Per determinar l’estructura cristal·lina dels metalls en aquests dos casos, utilitzem la relació entre el paràmetre de xarxa $a$ i el radi atòmic $r$, que depèn de l’estructura cristal·lina del material. Compararem el paràmetre de xarxa $a$ amb el radi atòmic $r$ per determinar si el metall té una estructura cúbica centrada en les cares (FCC), cúbica centrada en el cos (BCC), o hexagonal compacta (HCP).

1. Cas 1: Metall amb $a = 4,9489 \, \text{Å}$ i $r = 1,75 \, \text{Å}$

FCC (Cúbica centrada en les cares)

En una estructura FCC, la relació entre el paràmetre de xarxa $a$ i el radi atòmic $r$ és:

$$a = 2\sqrt{2}r$$

Substituint $r = 1,75 \, \text{Å}$ a la fórmula:

$$a_{\text{FCC}} = 2\sqrt{2} \times 1,75 = 4,9497 \, \text{Å}$$

El valor de $a_{\text{FCC}} = 4,9497 \, \text{Å}$ és pràcticament igual al valor donat $a = 4,9489 \, \text{Å}$, així que és molt probable que aquest metall tingui una estructura FCC.

BCC (Cúbica centrada en el cos)

En una estructura BCC, la relació entre $a$ i $r$ és:

$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$

Substituint $r = 1,75 \, \text{Å}$:

$$a_{\text{BCC}} = \frac{4 \times 1,75}{\sqrt{3}} = 4,046 \, \text{Å}$$

Aquest valor de $a_{\text{BCC}}$ és molt menor que el valor donat de $a = 4,9489 \, \text{Å}$, així que no és una estructura BCC.

Conclusió del cas 1:

El metall amb $a = 4,9489 \, \text{Å}$ i $r = 1,75 \, \text{Å}$ té una estructura FCC.

2. Cas 2: Metall amb $a = 0,42906 \, \text{nm}$ i $r = 0,1858 \, \text{nm}$

FCC (Cúbica centrada en les cares)

Per a una estructura FCC, la relació és la mateixa que abans:

$$a = 2\sqrt{2}r$$

Substituint $r = 0,1858 \, \text{nm}$:

$$a_{\text{FCC}} = 2\sqrt{2} \times 0,1858 = 0,5251 \, \text{nm}$$

El valor calculat de $a_{\text{FCC}}$ és més gran que el valor donat $a = 0,42906 \, \text{nm}$, així que no sembla ser una estructura FCC.

BCC (Cúbica centrada en el cos)

En una estructura BCC:

$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$

Substituint $r = 0,1858 \, \text{nm}$:

$$a_{\text{BCC}} = \frac{4 \times 0,1858}{\sqrt{3}} = 0,429 \, \text{nm}$$

El valor de $a_{\text{BCC}}$ és pràcticament igual al valor donat $a = 0,42906 \, \text{nm}$, així que aquest metall probablement té una estructura BCC.

Conclusió del cas 2:

El metall amb $a = 0,42906 \, \text{nm}$ i $r = 0,1858 \, \text{nm}$ té una estructura BCC.

Resum final:

• Cas 1: El metall amb $a = 4,9489 \, \text{Å}$ i $r = 1,75 \, \text{Å}$ té una estructura FCC.
• Cas 2: El metall amb $a = 0,42906 \, \text{nm}$ i $r = 0,1858 \, \text{nm}$ té una estructura BCC.