Problema sobre xarxes cristal·lines 12

Problema sobre xarxes cristal·lines 12
12 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

Un metall cristal·litza a la xarxa cúbica centrada en el cos. Si el seu radi atòmic és $1,24$ nm, quants àtoms existiran en $1$ cm$^3$

Per determinar el nombre d’àtoms en $1$ cm³ d’un metall amb estructura cúbica centrada en el cos (BCC) i un radi atòmic de $1,24$ nm, seguim els següents passos:

1. Determinació del Paràmetre de la Cella Unitària

En una xarxa BCC, la relació entre el radi atòmic $r$ i el paràmetre de la cel·la unitària $a$ és:

$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$

Donat que el radi atòmic $r$ és $1,24$ nm (o $1,24 \times 10^{-9} \text{ m}$):

$$a = \frac{4 \times 1,24 \times 10^{-9} \text{ m}}{\sqrt{3}} = \frac{4,96 \times 10^{-9} \text{ m}}{1,732} \approx 2,86 \times 10^{-9} \text{ m}$$

2. Càlcul del Volum de la Cel·la Unitària

El volum de la cel·la unitària en metres cúbics és:

$$V_{\text{cel·la}} = a^3 = (2,86 \times 10^{-9} \text{ m})^3 = 2,34 \times 10^{-26} \text{ m}^3$$

Convertim aquest volum a centímetres cúbics (usant (1 \text{ m}^3 = 10^6 \text{ cm}^3)):

$$V_{\text{cel·la}} = 2,34 \times 10^{-26} \text{ m}^3 \times 10^6 \text{ cm}^3/\text{m}^3 = 2,34 \times 10^{-20} \text{ cm}^3$$

3. Nombre de Cel·les Unitàries en $1$ cm³

El nombre de cel·les unitàries en $1$ cm$^3$ és:

$$\text{Número de cel·les} = \frac{1 \text{ cm}^3}{2,34 \times 10^{-20} \text{ cm}^3} \approx 4,27 \times 10^{19}$$

4. Nombre d’Àtoms per Cella Unitària

En una xarxa BCC, cada cel·la unitària conté $2$ àtoms efectius.

5. Nombre Total d’Àtoms en $1$ cm$^3$

Multipliquem el nombre de cel·les unitàries pel nombre d’ àtoms per cel·la unitària:

$$\text{Número total d’àtoms} = \text{Número de cel·les} \times 2 = 4,27 \times 10^{19} \times 2 = 8,54 \times 10^{19}$$

Resum

En $1$ cm$^3$ d’un metall amb estructura cúbica centrada en el cos (BCC) i un radi atòmic de $1,24$ nm, hi ha aproximadament $8,54 \times 10^{19}$ àtoms.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *