LEMNISCATA
Matemàtiques
Un metall cristal·litza a la xarxa cúbica centrada en el cos. Si el seu radi atòmic és $1,24$ nm, quants àtoms existiran en $1$ cm$^3$
Per determinar el nombre d’àtoms en $1$ cm³ d’un metall amb estructura cúbica centrada en el cos (BCC) i un radi atòmic de $1,24$ nm, seguim els següents passos:
En una xarxa BCC, la relació entre el radi atòmic $r$ i el paràmetre de la cel·la unitària $a$ és:
$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$
Donat que el radi atòmic $r$ és $1,24$ nm (o $1,24 \times 10^{-9} \text{ m}$):
$$a = \frac{4 \times 1,24 \times 10^{-9} \text{ m}}{\sqrt{3}} = \frac{4,96 \times 10^{-9} \text{ m}}{1,732} \approx 2,86 \times 10^{-9} \text{ m}$$
El volum de la cel·la unitària en metres cúbics és:
$$V_{\text{cel·la}} = a^3 = (2,86 \times 10^{-9} \text{ m})^3 = 2,34 \times 10^{-26} \text{ m}^3$$
Convertim aquest volum a centímetres cúbics (usant (1 \text{ m}^3 = 10^6 \text{ cm}^3)):
$$V_{\text{cel·la}} = 2,34 \times 10^{-26} \text{ m}^3 \times 10^6 \text{ cm}^3/\text{m}^3 = 2,34 \times 10^{-20} \text{ cm}^3$$
El nombre de cel·les unitàries en $1$ cm$^3$ és:
$$\text{Número de cel·les} = \frac{1 \text{ cm}^3}{2,34 \times 10^{-20} \text{ cm}^3} \approx 4,27 \times 10^{19}$$
En una xarxa BCC, cada cel·la unitària conté $2$ àtoms efectius.
Multipliquem el nombre de cel·les unitàries pel nombre d’ àtoms per cel·la unitària:
$$\text{Número total d’àtoms} = \text{Número de cel·les} \times 2 = 4,27 \times 10^{19} \times 2 = 8,54 \times 10^{19}$$
En $1$ cm$^3$ d’un metall amb estructura cúbica centrada en el cos (BCC) i un radi atòmic de $1,24$ nm, hi ha aproximadament $8,54 \times 10^{19}$ àtoms.