Problema sobre xarxes cristal·lines 11

El zirconi (Zr) té estructura hexagonal compacta (hcp) amb relació $c/a=1.593$. Si el seu radi atòmic és de $0.160$ nm i el pes atòmic $91.22$ g/mol, calcular-ne densitat.

Per calcular la densitat del circoni (Zr) amb estructura hcp, utilitzarem les dades següents:

• Relació $c/a = 1.593$.
• Radi atòmic $R = 0.160 \, \text{nm}$.
• Pes atòmic $M = 91.22 \, \text{g/mol}$.
• Nombre d’Avogadro $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$.

Procediment:

1. Paràmetres de xarxa $a$ i $c$:
   L’estructura hcp conté dos paràmetres de xarxa: $a$ i $c$, que estan relacionats pel radi atòmic i la relació $c/a$.

• El paràmetre $a$ està relacionat amb el radi atòmic $R$ per la fórmula:
  $$a = 2R = 2 \times 0.160 \, \text{nm} = 0.320 \, \text{nm} = 3.2\cdot10^{-8}\ \text{cm}$$
• El paràmetre $c$ es calcula utilitzant la relació $c/a = 1.593$:
  $$c = 1.593 \times a = 1.593 \times 0.320 \, \text{nm} = 0.510 \, \text{nm} = 5.1\cdot10^{-8}\ \text{cm}$$

1. Volum de la cel·la unitarària:
   El volum de la cel·la unitarària $V_{cel·la}$ per a una estructura hcp es pot calcular amb la fórmula:
   $$V_{cel·la} = 3\frac{\sqrt{3}}{2} a^2 c$$
   Substituïm els valors de $a$ i $c$:
   $$V_{cel·la} = 3\frac{\sqrt{3}}{2} \times (3.2\cdot10^{-8}\ \text{cm})^2 \times 5.1\cdot10^{-8}\ \text{cm} = 1.36\cdot10^{-22}\ \text{cm}^3$$
   
2. Densitat:
   Sabem que la densitat es pot calcular amb la fórmula:
   $$\rho = \frac{N_{àtoms} \cdot M}{V_{cel·la} \cdot N_A}$$
   On $N_{àtoms} = 6$ per una estructura hcp, $M = 91.22 \, \text{g/mol}$, i $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$. Substituïm els valors coneguts:
   $$\rho = \frac{6 \times 91.22}{1.36 \times 10^{-22} \, \text{cm}^3 \times 6.022 \times 10^{23}} = 6.68\ \text{g/cm}^3$$

Resultat:

La densitat del circoni (Zr) amb estructura hcp és aproximadament $6.68$ g/cm³.