El ferro experimenta a $910$ºC una transformació al·lotròpica, passant d’estructura bcc (anomenada ferrita o Fe) a fcc (denominada austenita o Fe). Suposant que el radi atòmic es manté constant i igual a $1.24$ Å, calcular: a) La relació entre les densitats b) El canvi relatiu de volum per a una massa fixa, en experimentar la transformació al·lotròpica esmentada, de bcc a fcc, indicant si correspon a una expansió (augment de vol.) o contracció (disminució).
Dades proporcionades:
- Radi atòmic del ferro: $R = 1.24 \, \text{Å}$ o $0.124 \, \text{nm}$.
- A $910^\circ C$, el ferro canvia de estructura BCC a FCC.
- Calcular:
- La relació entre les densitats de les dues estructures.
- El canvi relatiu de volum en la transformació de BCC a FCC, indicant si és una expansió o una contracció.
a) Relació entre les densitats:
La densitat $\rho$ es pot calcular amb la fórmula:
$$\rho = \frac{N_{àtoms} \cdot M}{V_{cel·la} \cdot N_A}$$
On:
- $N_{àtoms}$ és el nombre d’àtoms per cel·la (2 per BCC i 4 per FCC).
- $M$ és el pes atòmic (constant per al ferro).
- $V_{cel·la}$ és el volum de la cel·la, que depèn del paràmetre de la xarxa $a$.
- $N_A$ és el nombre d’Avogadro (constant).
Com que el pes atòmic i el nombre d’Avogadro són constants, la relació entre les densitats de les estructures BCC i FCC es pot simplificar en funció del volum de la cel·la i el nombre d’àtoms per cel·la:
$$\frac{\rho_{\text{FCC}}}{\rho_{\text{BCC}}} = \frac{\frac{N_{\text{FCC}}}{V_{\text{FCC}}}}{\frac{N_{\text{BCC}}}{V_{\text{BCC}}}} = \frac{N_{\text{FCC}} \cdot V_{\text{BCC}}}{N_{\text{BCC}} \cdot V_{\text{FCC}}}$$
On $N_{\text{FCC}} = 4$ i $N_{\text{BCC}} = 2$. Ara hem de determinar la relació entre els volums de les cel·les unitàries $V_{\text{FCC}}$ i $V_{\text{BCC}}$.
- Per BCC:
Sabem que el paràmetre de la cel·la unitarària $a_{\text{BCC}}$ per a una estructura cúbica centrada en el cos està relacionat amb el radi atòmic $R$ mitjançant la fórmula:
$$a_{\text{BCC}} = \frac{4R}{\sqrt{3}}$$
Substituint $R = 1.24 \, \text{Å}$:
$$a_{\text{BCC}} = \frac{4 \times 1.24}{\sqrt{3}} \approx 2.865 \, \text{Å}$$
El volum de la cel·la unitarària $V_{\text{BCC}} = a_{\text{BCC}}^3$:
$$V_{\text{BCC}} = (2.865)^3 \approx 23.53 \, \text{Å}^3$$
- Per FCC:
Sabem que el paràmetre de la cel·la unitarària $a_{\text{FCC}}$ per a una estructura cúbica centrada en les cares està relacionat amb el radi atòmic $R$ mitjançant la fórmula:
$$a_{\text{FCC}} = \frac{4R}{\sqrt{2}}$$
Substituint $R = 1.24 \, \text{Å}$:
$$a_{\text{FCC}} = \frac{4 \times 1.24}{\sqrt{2}} \approx 3.51 \, \text{Å}$$
El volum de la cel·la unitarària $V_{\text{FCC}} = a_{\text{FCC}}^3$:
$$V_{\text{FCC}} = (3.51)^3 \approx 43.27 \, \text{Å}^3$$
- Relació de densitats:
Ara podem calcular la relació entre les densitats:
$$\frac{\rho_{\text{FCC}}}{\rho_{\text{BCC}}} = \frac{4 \cdot 23.53}{2 \cdot 43.27} = \frac{94.12}{86.54} \approx 1.088$$
Per tant, la densitat de la fase FCC és aproximadament un $8.8\%$ més gran que la de la fase BCC.
b) Canvi relatiu de volum:
El canvi de volum es pot calcular comparant els volums de les cel·les unitàries de BCC i FCC. El canvi relatiu de volum al passar de BCC a FCC és:
$$\Delta V = \frac{V_{\text{FCC}} – V_{\text{BCC}}}{V_{\text{BCC}}}$$
Substituïm els valors dels volums:
$$\Delta V = \frac{43.27 – 23.53}{23.53} \approx \frac{19.74}{23.53} \approx 0.839 \, \text{o} \, 83.9\%$$
Conclusió:
- Relació entre densitats: $\frac{\rho_{\text{FCC}}}{\rho_{\text{BCC}}} \approx 1.088$, és a dir, la densitat augmenta un $8.8\%$ en la fase FCC.
- Canvi de volum: Hi ha una expansió volumètrica d’aproximadament un $83.9\%$ en passar de BCC a FCC.
Us agrada:
M'agrada S'està carregant...