Problema sobre vectors

Es consideren els vectors $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (1, -2, -1)$ i $\vec{w} = (2, \alpha, \beta)$, on $\alpha$ i $\beta$ són nombres reals. a) Determina els valors de $\alpha$ i $\beta$ per als quals $\vec{w}$ és ortogonal als vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$. b) Determina els valors de \( \alpha \) i \( \beta \) per als quals \( \vec{w} \) i \( \vec{v} \) tenen la mateixa direcció. c) Per a \( \alpha = 8 \), determina el valor de \( \beta \) per al qual \( \vec{w} \) és combinació lineal de \( \vec{u} \) i \( \vec{v} \).

Dades inicials:

• $\vec{u} = (1, 2, 3)$
• $\vec{v} = (1, -2, -1)$
• $\vec{w} = (2, \alpha, \beta)$

---

1. Determina els valors de $\alpha$ i $\beta$ per als quals $\vec{w}$ és ortogonal als vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Dos vectors són ortogonals si el seu producte escalar és zero. Per tant, $\vec{w}$ ha de ser perpendicular tant a $\vec{u}$ com a $\vec{v}$.

• Producte escalar $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$:
  $$(2 \cdot 1) + (\alpha \cdot 2) + (\beta \cdot 3) = 0$$
  $$2 + 2\alpha + 3\beta = 0 \quad (1)$$
• Producte escalar $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$:
  $$(2 \cdot 1) + (\alpha \cdot -2) + (\beta \cdot -1) = 0$$
  $$2 – 2\alpha – \beta = 0 \quad (2)$$

Resolem el sistema d’equacions:

• De (2): $2 – 2\alpha – \beta = 0$
  $$\beta = 2 – 2\alpha \quad (3)$$
• Sustituïm (3) a (1):
  $$2 + 2\alpha + 3(2 – 2\alpha) = 0$$
  $$2 + 2\alpha + 6 – 6\alpha = 0$$
  $$8 – 4\alpha = 0$$
  $$4\alpha = 8$$
  $$\alpha = 2$$
• Sustituïm $\alpha = 2$ a (3):
  $$\beta = 2 – 2 \cdot 2 = 2 – 4 = -2$$

Comprovem:

• $\vec{w} = (2, 2, -2)$
• $\vec{w} \cdot \vec{u} = (2 \cdot 1) + (2 \cdot 2) + (-2 \cdot 3) = 2 + 4 – 6 = 0$
• $\vec{w} \cdot \vec{v} = (2 \cdot 1) + (2 \cdot -2) + (-2 \cdot -1) = 2 – 4 + 2 = 0$

Els valors $\alpha = 2$, $\beta = -2$ són correctes.

---

2. Determina els valors de $\alpha$ i $\beta$ per als quals $\vec{w}$ i $\vec{v}$ tenen la mateixa direcció.

Dos vectors tenen la mateixa direcció si són proporcionals (un és un escalar múltiple positiu de l’altre). Així, existeix un escalar $k > 0$ tal que:
$$\vec{w} = k \vec{v}$$
$$(2, \alpha, \beta) = k (1, -2, -1)$$

Això dona el sistema:

1. $2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2$
2. $\alpha = k \cdot -2 = 2 \cdot -2 = -4$
3. $\beta = k \cdot -1 = 2 \cdot -1 = -2$

Comprovem:

• $\vec{w} = (2, -4, -2)$
• $2 \vec{v} = 2 (1, -2, -1) = (2, -4, -2)$

Els vectors són iguals, confirmant la mateixa direcció. Els valors són $\alpha = -4$, $\beta = -2$.

---

3. Per a $\alpha = 8$, determina el valor de $\beta$ per al qual $\vec{w}$ és combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

$\vec{w} = (2, 8, \beta)$ ha de ser combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$, això és, existeixen $a$ i $b$ tals que:
$$a \vec{u} + b \vec{v} = \vec{w}$$
$$a (1, 2, 3) + b (1, -2, -1) = (2, 8, \beta)$$

Per components:

1. $a + b = 2 \quad (1)$
2. $2a – 2b = 8 \quad (2)$
3. $3a – b = \beta \quad (3)$

Resolem (1) i (2):

• De (2): $2a – 2b = 8 \Rightarrow a – b = 4 \quad (4)$
• Sumem (1) i (4):
  $$(a + b) + (a – b) = 2 + 4$$
  $$2a = 6 \Rightarrow a = 3$$
• De (1): $3 + b = 2 \Rightarrow b = -1$

Sustituïm a (3):
$$3 \cdot 3 – (-1) = \beta$$
$$9 + 1 = \beta$$
$$\beta = 10$$

Comprovem:

• $3 \vec{u} + (-1) \vec{v} = 3 (1, 2, 3) – 1 (1, -2, -1) = (3, 6, 9) – (1, -2, -1) = (2, 8, 10)$
• $\vec{w} = (2, 8, 10)$, que coincideix.

Per tant, per $\alpha = 8$, el valor de $\beta$ és $10$.