Problema sobre ones electromagnètiques

Una ona electromagnètica plana en el buit està donada per
$$E_x = 10^2 \sin\left[n \left(3 \times 10^6 z – 9 \times 10^{14} t \right) \right], \, \text{(V/m)},$$
$$E_y = 0,$$
$$E_z = 0.$$
Determinar la longitud d’ona, la freqüència, la velocitat de fase i el valor mitjà temporal del mòdul del vector de Poynting.

A la vista de l’equació (2.13), podem deduir que l’ona vibra al llarg de l’eix $X$ i que es propaga al llarg de l’eix $Z$. Això és, el vector de propagació estarà donat per $\mathbf{k_p} = 2\pi \mathbf{k}$, on $\mathbf{k}$ és un vector unitari en la direcció de l’eix $Z$.

D’aquesta manera, podem determinar la longitud d’ona, ja que es verifica la relació $2\pi = 3\pi \times 10^6$, resultant $\lambda = \frac{2\pi}{3\pi \times 10^6} = \frac{1}{3} \times 10^{-6}\, \text{m}$. Això correspon a una radiació visible de color “vermell”.

Així mateix, la freqüència de l’ona, $f$, es pot determinar a partir de l’expressió $2\pi f = 9\pi \times 10^{14}$, per la qual cosa resulta que $f = 1.5 \times 10^{14}\, \text{Hz}$. Veiem a partir de les dades anteriors que, efectivament, la velocitat de propagació de l’ona és $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$.

Podem determinar la direcció en la qual oscil·la el vector d’inducció magnètica a partir de la coneguda relació
$$\mathbf{k_p} \times \mathbf{E} = \omega \mathbf{B},$$
de manera que, realitzant les operacions indicades a l’equació (2.14), s’obté
$$\mathbf{B} = -\frac{E_x}{c} \mathbf{j}.$$

Finalment, podem determinar el vector de Poynting
$$\mathbf{P} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B},$$
resultant que
$$\mathbf{P} = \frac{1}{\mu_0 c} E_x^2 \sin^2 \left[ \pi \left( 3 \times 10^6 z – 9 \times 10^{14} t \right) \right] \mathbf{k}.$$

Per determinar la mitjana temporal del vector de Poynting, procedirem com:
$$\langle |\mathbf{P}| \rangle = \frac{1}{2} \frac{E_0^2}{\mu_0 c},$$
resultant finalment
$$\langle |\mathbf{P}| \rangle = \frac{1}{2} \frac{(10^2)^2}{\mu_0 c} \, \text{(W/m}^2\text{)}.$$