Problema sobre matrius. Operacions de matrius

Calcular $A’B – C^2$. Donades les matrius: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

Per resoldre l’expressió $A’B – C^2$ donades les matrius:

$$A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix}, \quad
B =
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 \\
4 & 0 & -1
\end{pmatrix}, \quad
C =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}$$

Pas 1: Calcular $A’$ (la transposada de $A$)

La matriu $A$ és $2 \times 3$, així que la seva transposada $A’$ serà $3 \times 2$:

$$A’ =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$$

Pas 2: Calcular $A’B$

Ara multiplicarem $A’$ (que és $3 \times 2$) per $B$ (que és $2 \times 3$):

$$A’B =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 \\
4 & 0 & -1
\end{pmatrix}$$

Realitzant la multiplicació:

1. Primera fila:

• Primer element: $1 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 1$
• Segon element: $1 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 3$
• Tercer element: $1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 0$

1. Segona fila:

• Primer element: $0 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 8$
• Segon element: $0 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 0$
• Tercer element: $0 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2$

1. Tercera fila:

• Primer element: $1 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 1$
• Segon element: $1 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 3$
• Tercer element: $1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 0$

Per tant:

$$A’B =
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 \\
8 & 0 & -2 \\
1 & 3 & 0
\end{pmatrix}$$

Pas 3: Calcular $C^2$

Ara calculem $C^2$ multiplicant $C$ per si mateixa:

$$C^2 = C \cdot C =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}$$

Realitzant la multiplicació:

1. Primera fila:

• Primer element: $1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$
• Segon element: $1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 0$
• Tercer element: $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 0$

1. Segona fila:

• Primer element: $0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$
• Segon element: $0 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6$
• Tercer element: $0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 4$

1. Tercera fila:

• Primer element: $0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$
• Segon element: $0 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 8$
• Tercer element: $0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 6$

Per tant:

$$C^2 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 4 \\
0 & 8 & 6
\end{pmatrix}$$

Pas 4: Calcular $A’B – C^2$

Ara restarem $C^2$ de $A’B$:

$$A’B – C^2 =
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 \\
8 & 0 & -2 \\
1 & 3 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 4 \\
0 & 8 & 6
\end{pmatrix}$$

Realitzant la resta element per element:

1. Primera fila:

• Primer element: $1 – 1 = 0$
• Segon element: $3 – 0 = 3$
• Tercer element: $0 – 0 = 0$

1. Segona fila:

• Primer element: $8 – 0 = 8$
• Segon element: $0 – 6 = -6$
• Tercer element: $-2 – 4 = -6$

1. Tercera fila:

• Primer element: $1 – 0 = 1$
• Segon element: $3 – 8 = -5$
• Tercer element: $0 – 6 = -6$

Per tant, el resultat final és:

$$A’B – C^2 =
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 0 \\
8 & -6 & -6 \\
1 & -5 & -6
\end{pmatrix}$$

Resposta Final

La matriu resultant de $A’B – C^2$ és:

$$\begin{pmatrix}
0 & 3 & 0 \\
8 & -6 & -6 \\
1 & -5 & -6
\end{pmatrix}$$