Problema sobre màquina tèrmica

Una màquina tèrmica té un rendiment del 40%. En cada cicle, cedeix 3000 calories a una font freda a 77 ºC. Suposant que segueix el cicle de Carnot, calculeu: a) El calor extret de la font calenta. b) La temperatura de la font calenta. c) El treball realitzat per cicle en joules. d) El temps que triga a realitzar un cicle si té una potència de sortida de 1,5 kW.

Es tracta d’un cicle de Carnot directe: extreu calor de la font calenta i el cedeix a la font freda, produint treball com a resultat.

Si $Q_2$ és el calor cedit a la font freda i $Q_1$ és el calor absorbit de la font calenta, el rendiment de la màquina és: $\eta = 1 – \frac{Q_2}{Q_1} \implies Q_1 = \frac{Q_2}{1 – \eta} = \frac{3000}{1 – 0,4} = 5000 \, \text{cal}$.

Si suposem un cicle de Carnot ideal, a partir de l’eficiència podem deduir la relació entre les temperatures de la font freda $T_f$ i la font calenta $T_c$ sempre que $T$ estigui expressada en kelvins $K$:

$$\eta = 1 – \frac{T_f}{T_c} \implies T_c = \frac{T_f}{1 – \eta}.$$

Substituint els valors:
$$T_f = 77 + 273 \, \text{K}, \quad \eta = 0,4,$$
tenim:
$$T_c = \frac{77 + 273}{1 – 0,4} = \frac{350}{0,6} \approx 583,3 \, \text{K}.$$

Convertint a graus Celsius:
$$T_c \approx 583,3 – 273 = 310,3 \, ^\circ\text{C}.$$

La diferència entre el calor absorbit $Q_1$ i el calor cedit $Q_2$ és el treball $W$ realitzat per la màquina.

Sabem que:
$$1 \, \text{cal} = 4,186 \, \text{J}.$$

El treball es calcula com:
$$W = Q_1 – Q_2 = 5000 \, \text{cal} – 3000 \, \text{cal} = 2000 \, \text{cal}.$$

Convertint a joules:
$$W = 2000 \, \text{cal} \times \frac{4,186 \, \text{J}}{1 \, \text{cal}} = 8,372 \, \text{kJ}.$$

Per tant, el treball realitzat per la màquina és aproximadament:
$$W \approx 8,37 \, \text{kJ}.$$

Sabem que la potència $P = 1,5 \, \text{kW}$ i el treball realitzat per cicle és $W = 8,36 \, \text{kJ}$. A partir d’aquestes dues magnituds podem deduir el temps necessari per realitzar un cicle, ja que la potència es calcula com el treball dividit pel temps que dura un cicle:

$$P = \frac{W}{t}.$$

Recordem també que:
$$1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}.$$

Reescrivim l’equació per trobar el temps:
$$t = \frac{W}{P}.$$

Substituint els valors:
$$P = 1,5 \, \text{kW} = 1500 \, \text{J/s}, \quad W = 8,36 \, \text{kJ} = 8360 \, \text{J},$$
tenim:
$$t = \frac{8360}{1500} \approx 5,57 \, \text{s}.$$

Per tant, el temps necessari per realitzar un cicle és aproximadament:
$$t \approx 5,57 \, \text{s}.$$