Problema sobre estructura cúbica

El manganès $\alpha$ té una estructura cúbica amb $a = 0.8931 \, \text{nm}$ i una densitat de $7.47 \, \text{g/cm}^3$, mentre que la fase $\beta$ té una estructura cúbica diferent amb $a = 0.6326 \, \text{nm}$ i una densitat de $7.26 \, \text{g/cm}^3$. La massa molar del manganès és $54.938 \, \text{g/mol}$ i el seu radi atòmic és $0.112 \, \text{nm}$. Determina el $\%$ de canvi de volum al passar de manganès $\alpha$ a $\beta$.

Primer hem de determinar el nombre d’àtoms per cel·la en cada cas:

$$N_{at}(\alpha) = \frac{7.47 \, \text{g/cm}^3 \times (0.8931)^3 \times 10^{-21} \, \text{cm}^3 \times (6.022 \times 10^{23}) \, \text{at/mol}}{54.938 \, \text{g/mol}} = 58.33 \, \text{àtoms}$$

$$N_{at}(\beta) = \frac{7.26 \, \text{g/cm}^3 \times (0.6326)^3 \times 10^{-21} \, \text{cm}^3 \times (6.022 \times 10^{23}) \, \text{at/mol}}{54.938 \, \text{g/mol}} = 20.15 \, \text{àtoms}$$

Podem comparar el volum entre cel·les amb un nombre igual d’àtoms. Així, la relació entre el nombre d’àtoms entre els dos tipus de manganès és $2.895$. Per tant:

$$V_{\alpha} = a_{\alpha}^3 = 0.7124 \, \text{nm}^3$$

$$V_{\beta} = a_{\beta}^3 = 0.2532 \, \text{nm}^3 \quad \Rightarrow \quad 0.2532 \, \text{nm}^3 \times 2.895 = 0.7329 \, \text{nm}^3$$

Per tant, la transició de la fase $\alpha$ a la $\beta$, en el manganès, es produeix amb un augment de volum. Percentualment:

$$\Delta V (\%) = \frac{V_{\text{final}} – V_{\text{inicial}}}{V_{\text{inicial}}} \times 100 = \frac{0.7329 – 0.7124}{0.7124} \times 100 = 2.9\%$$