Problema sobre el pes aparent

Un objecte esfèric pesa $125$ g i submergit en aigua el seu pes és de $90$ g. Trobeu el radi de l’esfera o decidir si aquesta és massissa, si la densitat de l’objecte és $8500$ kg/m$^3$

Per determinar el radi de l’esfera i si aquesta és massissa, analitzarem la situació utilitzant els principis de flotabilitat i densitat.

Pas 1: Conversió de masses a pesos

Les masses donades són:

• Massa de l’objecte en l’aire: $m_{\text{aire}} = 125 \, \text{g} = 0.125 \, \text{kg}$
• Massa de l’objecte submergit en aigua: $m_{\text{aigua}} = 90 \, \text{g} = 0.090 \, \text{kg}$

Pas 2: Força de flotació

La força de flotació $F_b$ és la diferència entre el pes de l’objecte en l’aire i el pes de l’objecte submergit en aigua. El pes és calculat com $P = m \cdot g$.

$$F_b = P_{\text{aire}} – P_{\text{aigua}}$$

$$P_{\text{aire}} = m_{\text{aire}} \cdot g = 0.125 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 = 1.225 \, \text{N}$$

$$P_{\text{aigua}} = m_{\text{aigua}} \cdot g = 0.090 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 = 0.882 \, \text{N}$$

$$F_b = 1.225 \, \text{N} – 0.882 \, \text{N} = 0.343 \, \text{N}$$

Pas 3: Volum de l’objecte

La força de flotació $F_b$ és igual al pes del volum d’aigua desplaçat per l’objecte. La densitat de l’aigua és $\rho_{\text{aigua}} = 1000 \, \text{kg/m}^3$.

$$F_b = \rho_{\text{aigua}} \cdot g \cdot V$$

Resolent per $V$:

$$0.343 \, \text{N} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot V$$

$$V = \frac{0.343}{1000 \cdot 9.8} = \frac{0.343}{9800} \approx 3.5 \times 10^{-5} \, \text{m}^3$$

Pas 4: Radi de l’esfera

El volum d’una esfera és donat per:

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

Resolent per $r$:

$$3.5 \times 10^{-5} = \frac{4}{3} \pi r^3$$

$$r^3 = \frac{3.5 \times 10^{-5} \cdot 3}{4 \pi} \approx 8.351 \times 10^{-6}$$

$$r = \left( 8.351 \times 10^{-6} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.0203 \, \text{m} = 2.03 \, \text{cm}$$

Pas 5: Comprovació de la densitat

La densitat de l’objecte és:

$$\rho_{\text{objecte}} = 8500 \, \text{kg/m}^3$$

La massa de l’objecte és:

$$m = \rho_{\text{objecte}} \cdot V = 8500 \, \text{kg/m}^3 \cdot 3.5 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 = 0.2975 \, \text{kg} = 297.5 \, \text{g}$$

Com que la massa real de l’objecte és $125 \, \text{g}$, l’objecte no és massís.

Resultat

El radi de l’esfera és aproximadament $2.03 \, \text{cm}$, i com que la densitat calculada no coincideix amb la massa real, podem concloure que l’esfera no és massissa.