Problema sobre cubetes electrolítiques

Es preparen dues cubetes electrolítiques connectades en sèrie. La primera conté $1$ L d’una dissolució de nitrat de plata $0,5$ M i la segona $2$ L d’una dissolució de sulfat de coure (II) $0,2$ M. a) Formula les dues sals i escriu les reaccions que es produeixen al càtode de les dues cubetes electrolítiques quan es fa passar un corrent elèctric. b) Sabent que al càtode de la primera s’han dipositat $3,0$ g de plata, calcula els grams de coure que es dipositaran al càtode de la segona cubeta. c) Calcula el temps que trigaran a dipositar-se aquestes quantitats si la intensitat de corrent és de $2$ A. d) Transcorregut aquest temps, quants mols de cada catió romanen en dissolució?

a) Fórmules de les sales i reaccions en el cátode

1. Fórmules de les sales:

• Nitrato de plata: $\text{AgNO}_3$
• Sulfat de coure(II): $\text{CuSO}_4$

2. Reaccions en el cátode:

• Primera cubeta (nitrato de plata): La reacció en el cátode serà la reducció dels ions plata: $$\text{Ag}^+ + e^- \rightarrow \text{Ag}(s)$$
• Segona cubeta (sulfat de coure II): La reacció en el cátode serà la reducció dels ions coure(II): $$\text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}(s)$$

b) Càlcul dels grams de coure depositats

1. Determinació dels moles de plata depositats:

La massa de plata depositada és de $3.0 \, \text{g}$.

Calcularem els moles de plata utilitzant la massa molar de la plata $M_{\text{Ag}} \approx 107.87 \, \text{g/mol}$:

$$n_{\text{Ag}} = \frac{3.0 \, \text{g}}{107.87 \, \text{g/mol}} \approx 0.0278 \, \text{mol}$$

2. Relació estequiomètrica:

De la reacció en el cátode de la primera cubeta, $1$ mol de $\text{Ag}^+$ requereix $1$ mol d’electrons. Per tant, el nombre d’electrons transferits és igual al nombre de moles de plata depositats:

$$n_e = n_{\text{Ag}} \approx 0.0278 \, \text{mol}$$

3. Càlcul dels moles de coure depositats:

A la segona cubeta, per cada $1$ mol de $\text{Cu}^{2+}$ es necessiten $2$ moles d’electrons. Així que la quantitat de coure que es depositarà és:

$$n_{\text{Cu}} = \frac{n_e}{2} = \frac{0.0278}{2} \approx 0.0139 \, \text{mol}$$

4. Càlcul de la massa de coure depositada:

La massa molar del coure $M_{\text{Cu}} \approx 63.55 \, \text{g/mol}$:

$$m_{\text{Cu}} = n_{\text{Cu}} \cdot M_{\text{Cu}} = 0.0139 \, \text{mol} \cdot 63.55 \, \text{g/mol} \approx 0.884 \, \text{g}$$

c) Càlcul del temps per depositar les quantitats

Utilitzem la relació entre la càrrega elèctrica, la corrent i el temps. La càrrega total que passa a través del circuit es pot calcular utilitzant:

$$Q = n_e \cdot F$$

On $F$ és la constant de Faraday $F \approx 96485 \, \text{C/mol}$:

$$Q = 0.0278 \, \text{mol} \cdot 96485 \, \text{C/mol} \approx 2675.37 \, \text{C}$$

Sabem que:

$$Q = I \cdot t \implies t = \frac{Q}{I}$$

Substituïm $I = 2 \, \text{A}$:

$$t = \frac{2675.37 \, \text{C}}{2 \, \text{A}} \approx 1337.68 \, \text{s} \approx 22.3 \, \text{min}$$

d) Càlcul de moles de cations que romanen en disolució

1. Moles inicials de cations:

• Per al $\text{AgNO}_3$: Concentració de $\text{AgNO}_3 = 0.5$ M en $1$ L: $$n_{\text{Ag}^+} = 0.5 \, \text{mol/L} \cdot 1 \, \text{L} = 0.5 \, \text{mol}$$
• Per al $\text{CuSO}_4$: Concentració de $\text{CuSO}_4 ) = 0.2$ M en $2$ L: $$n_{\text{Cu}^{2+}} = 0.2 \, \text{mol/L} \cdot 2 \, \text{L} = 0.4 \, \text{mol}$$

2. Càlcul de cations que romanen en disolució:

• Per $\text{Ag}^+$: Moles inicials $= 0.5 \, \text{mol}$, moles depositats $= 0.0278 \, \text{mol}$: $$n_{\text{Ag}^+ \text{ restant}} = 0.5 \, \text{mol} – 0.0278 \, \text{mol} \approx 0.4722 \, \text{mol}$$
• Per $\text{Cu}^{2+}$: Moles inicials $= 0.4 \, \text{mol}$, moles depositats $= 0.0139 \, \text{mol}$: $$n_{\text{Cu}^{2+} \text{ restant}} = 0.4 \, \text{mol} – 0.0139 \, \text{mol} \approx 0.3861 \, \text{mol}$$

Resum de Resultats

1. Reaccions en el cátode:

• $\text{Ag}^+ + e^- \rightarrow \text{Ag}(s)$
• $\text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}(s)$

1. Grams de coure depositats:

• $m_{\text{Cu}} \approx 0.884 \, \text{g}$

1. Temps per depositar:

• $t \approx 22.3 \, \text{min}$

1. Moles de cations restants en disolució:

• $n_{\text{Ag}^+} \approx 0.4722 \, \text{mol}$
• $n_{\text{Cu}^{2+}} \approx 0.3861 \, \text{mol}$