Problema sobre bombons

Per la Festa Major, la pastisseria del poble elabora unes capses de bombons especials. La capsa petita conté $10$ bombons, la mitjana en té $15$ i la gran en té $25$. Cada capsa va decorada amb un llaç commemoratiu. En total, han utilitzat $210$ llaços i $2.650$ bombons. Tenint en compte que han elaborat el doble de capses petites que de mitjanes i grans juntes, quantes capses de cada tipus han elaborat?

Per resoldre aquest problema, definirem les incògnites per a cadascun dels tipus de capsa:

1. $x$: nombre de capses petites (10 bombons cadascuna),
2. $y$: nombre de capses mitjanes (15 bombons cadascuna),
3. $z$: nombre de capses grans (25 bombons cadascuna).

Condicions donades pel problema:

1. Han utilitzat un total de $210$ llaços, per tant:
   $$x + y + z = 210$$
2. Han utilitzat un total de $2.650$ bombons, de manera que:
   $$10x + 15y + 25z = 2650$$
3. Han elaborat el doble de capses petites que de mitjanes i grans juntes, és a dir:
   $$x = 2(y + z)$$

Sistema d’equacions:

Aleshores tenim el següent sistema d’equacions:

$$\begin{cases}
x + y + z = 210 \\
10x + 15y + 25z = 2650 \\
x = 2(y + z)
\end{cases}$$

Resolem el sistema:

1. De la tercera equació, substituïm $x$ per $2(y + z)$ a les altres dues equacions.
2. Substituïm i simplifiquem per trobar els valors de $x$, $y$, i $z$.

A continuació, resolem el sistema:

La solució del sistema és:

• Nombre de capses petites $x$: 140
• Nombre de capses mitjanes $y$: 50
• Nombre de capses grans $z$: 20

Per tant, han elaborat 140 capses petites, 50 capses mitjanes i 20 capses grans.