Problema sobre allotjament i turistes. Sistemes d’equacions

En un hotel es van allotjar ahir 25 hostes procedents de tres països: Itàlia, Portugal i el Japó. La seva despesa total a l’hotel va ser de 3610 euros, corresponent 140 euros a cada hoste italià, 130 euros a cada portuguès i 160 euros a cada japonès. El registre de l’hotel mostra que el nombre de portuguesos va ser la quarta part de la suma dels hostes dels altres dos països. Determina el nombre d’hostes de cadascun dels 3 països.

Per resoldre aquest problema, definirem les variables següents:- \( x \): nombre d’hostes italians- \( y \): nombre d’hostes portuguesos- \( z \): nombre d’hostes japonesos

Plantejament de les equacions

1. **Total d’hostes**: La suma total d’hostes és de 25, així que: \[ x + y + z = 25 \]

2. **Total de despesa**: La despesa total va ser de 3610 euros. Com que cada hoste italià gasta 140 euros, cada portuguès 130 euros i cada japonès 160 euros, tenim: \[ 140x + 130y + 160z = 3610 \]

3. **Relació entre el nombre d’hostes portuguesos i els altres**: El nombre d’hostes portuguesos és la quarta part de la suma dels hostes italians i japonesos, és a dir: \[ y = \frac{1}{4}(x + z) \] Multiplicant per 4 per evitar fraccions: \[ 4y = x + z \]

Sistema d’equacions. El sistema queda de la següent manera:\[\begin{cases}x + y + z = 25 \\140x + 130y + 160z = 3610 \\4y = x + z\end{cases}\]

Per resoldre aquest sistema pel mètode de Cramer, organitzem les equacions de la següent manera:\[\begin{cases}x + y + z = 25 \\140x + 130y + 160z = 3610 \\x – 4y + z = 0\end{cases}\]Aquestes tres equacions es poden reescriure en forma matricial:\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 140 & 130 & 160 \\ 1 & -4 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 \\ 3610 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Mètode de Cramer. Per trobar \( x \), \( y \), i \( z \) amb el mètode de Cramer, calculem el determinant de la matriu dels coeficients (\( D \)) i els determinants \( D_x \), \( D_y \), i \( D_z \), substituint cada columna amb el vector de termes independents.

1. Calcularem \( D \) (determinant de la matriu original).

2. Calcularem \( D_x \) substituint la primera columna pel vector de resultats.

3. Calcularem \( D_y \) substituint la segona columna pel vector de resultats.

4. Calcularem \( D_z \) substituint la tercera columna pel vector de resultats.Llavors, aplicarem:\[x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}\]Anem a calcular-ho.Els càlculs amb el mètode de Cramer ens donen:- Determinant de la matriu original, \( D \): 100- Determinant \( D_x \): 1200- Determinant \( D_y \): 500- Determinant \( D_z \): 800Per tant, els valors de les variables són:\[x = \frac{D_x}{D} = \frac{1200}{100} = 12\]\[y = \frac{D_y}{D} = \frac{500}{100} = 5\]\[z = \frac{D_z}{D} = \frac{800}{100} = 8\]Així, els resultats són:

– Hostes italians: 12

– Hostes portuguesos: 5

– Hostes japonesos: 8