Problema sistema d’equacions. Maletes

El nou model de maletes Rodamons disposa de tres mides diferents: petita, mitjana i gran. El preu de la maleta gran és el mateix que el de la maleta petita i la mitjana juntes. El lot d’una maleta de cada mida costa $2406$ €, però si es compra el lot de dues maletes petita, una de mitjana i una de gran, s’obté un $10\%$ de descompte del total i el preu final és de $256,5$ €. Quin és el preu de cada tipus de maleta sense descompte?

a) Anomenem $x$, $y$ i $z$ els preus de la maleta petita, de la maleta mitjana i de la maleta gran, respectivament. En tots els casos, es tracta del preu sense descompte.

A partir de la informació s’obtenen les següents relacions:
$$\begin{cases}
x + y + z = 240 \\
x + y – z = 0 \\
0,9(2x + y + z) = 256,5
\end{cases}$$

Que correspon a
$$\begin{cases}
x + y + z = 240 \\
x + y – z = 0 \\
1,8x + 0,9y + 0,9z = 256,5
\end{cases}$$

I si multipliquem la tercera equació per $10$ tenim
$$\begin{cases}
x + y + z = 240 \\
x + y – z = 0 \\
18x + 9y + 9z = 2565
\end{cases}$$

El podem resoldre pel mètode de Gauss

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 240 \\
1 & 1 & -1 & 0 \\
18 & 9 & 9 & 2565
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 240 \\
1 & 1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 285
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 240 \\
0 & 0 & 2 & 240 \\
0 & 1 & 1 & 195
\end{pmatrix}$$

$$\to
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 240 \\
0 & 1 & 1 & 195 \\
0 & 0 & 1 & 120
\end{pmatrix}$$

Obtenim per tant que $z = 120$, $y = 195 – 120 = 75$, i, finalment, $x = 240 – 120 – 75 = 45$.

Per tant, el preu de la maleta petita és de $45$ euros, el de la maleta mitjana és de $75$ euros i el de la gran és de $120$ euros.