Problema sistema de partícules

Tenim dos blocs de masses 5 g i 10 g que es mouen en la mateixa direcció i amb velocitats de 10 cm/s i 5 cm/s respectivament. Aquests blocs xoquen elàsticament. Trobar les velocitats finals de cada massa si:

a) El sentit de les velocitats són oposats. La energia cinètica (ΔE = 0) i la quantitat de moviment (ΔP⃗ = 0) es conserven, per tant podem escriure les equacions:\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 \tag{1}\]\[m_1 u_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2 \tag{2}\]Fem servir \(v\) per les velocitats inicials i \(u\) per les velocitats finals, per simplificar l’(a)(b) dels subíndexs. Aquestes equacions les transformem fent una mica d’àlgebra bàsica en:\[m_1 (v_1^2 – u_1^2) = m_2 (u_2^2 – v_2^2) \tag{3}\]Aplicant la diferència de quadrats obtenim:\[m_1 (v_1 – u_1)(v_1 + u_1) = m_2 (u_2 – v_2)(u_2 + v_2) \tag{4}\]i per una altra banda tenim:\[m_1 (v_1 – u_1) = m_2 (u_2 – v_2) \tag{5}\]Dividint les equacions (4) i (5) obtenim:\[v_1 + u_1 = u_2 + v_2 \tag{6}\] Farem i resoldrem un sistema amb les equacions (2) i (6)\[\begin{cases}v_1 – v_2 = u_2 – u_1 \\m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2\end{cases} \tag{7}\]Això ens dóna \(u_1\):\[u_1 = \frac{(m_1 – m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} \tag{8}\]i el valor de \(u_2\):\[u_2 = \frac{2 m_1 v_1 + (m_2 – m_1) v_2}{m_1 + m_2} \tag{9}\]Substituint els valors numèrics que ens dóna l’enunciat, obtenim:\[v_1 = 10 \, \text{cm/s}; \, v_2 = -5 \, \text{cm/s}; \, u_1 = -10 \, \text{cm/s}; \, u_2 = 5 \, \text{cm/s} \tag{10}\]

b) Les velocitats tenen el mateix sentit, i el més ràpid xoca al més lent. Fem el mateix que hem fet en l’apartat (a):\[v_1 = 10 \, \text{cm/s}; \, v_2 = 5 \, \text{cm/s}; \, u_1 = 3.33 \, \text{cm/s}; \, u_2 = 8.33 \, \text{cm/s} \tag{11}\]