Problema reunió Probabilitat i combinatòria

A una reunió, hi assisteixen 20 convidats, dels quals 9 són advocats, 7 són professors i 4 són metges. L’amfitrió ha de saludar tres convidats escollits a l’atzar. Calcula la probabilitat que: a) Cap dels tres sigui advocat. b) Només un dels tres sigui professor. c) Els tres tinguin la mateixa professió.

Tenim 20 convidats en total: 9 advocats, 7 professors i 4 metges. L’amfitrió saluda 3 convidats escollits a l’atzar, sense reemplaçament (ja que no té sentit saludar la mateixa persona dues vegades). Això implica que utilitzarem combinacions per calcular les probabilitats, i el nombre total de maneres de triar 3 convidats de 20 és:

$$C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140$$

a) Cap dels tres sigui advocat

Si cap dels tres és advocat, tots han de ser o professors o metges. Hi ha 9 advocats, així que hi ha (20 – 9 = 11) convidats que no són advocats (7 professors + 4 metges). El nombre de maneres de triar 3 convidats d’aquests 11 és:

$$C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165$$

La probabilitat és el quocient entre els casos favorables i els casos totals:

$$P(\text{cap advocat}) = \frac{C(11, 3)}{C(20, 3)} = \frac{165}{1140}$$

Simplifiquem dividint numerador i denominador pel màxim comú divisor (MCD de 165 i 1140 és 15):

$$\frac{165 \div 15}{1140 \div 15} = \frac{11}{76}$$

Resposta a): La probabilitat que cap dels tres sigui advocat és $\displaystyle\frac{11}{76}$.

b) Només un dels tres sigui professor

Aquí necessitem que exactament un dels tres sigui professor i els altres dos no siguin professors. Dividim el càlcul en passos:

1. Triar 1 professor: Hi ha 7 professors, així que les maneres de triar-ne 1 són (C(7, 1) = 7).
2. Triar 2 no professors: Hi ha (20 – 7 = 13) convidats que no són professors (9 advocats + 4 metges). Les maneres de triar-ne 2 són:

$$C(13, 2) = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13 \cdot 12}{2 \cdot 1} = 78$$

3. Casos favorables: Multipliquem les maneres de triar 1 professor i 2 no professors:

$$$C(7, 1) \cdot C(13, 2) = 7 \cdot 78 = 546$$

4. Probabilitat:

$$P(\text{només un professor}) = \frac{C(7, 1) \cdot C(13, 2)}{C(20, 3)} = \frac{546}{1140}$$

Simplifiquem (MCD de 546 i 1140 és 6):

$$\frac{546 \div 6}{1140 \div 6} = \displaystyle\frac{91}{190}$$

Resposta b): La probabilitat que només un dels tres sigui professor és $\displaystyle\frac{91}{190}$.

c) Els tres tinguin la mateixa professió

Aquí els tres han de ser tots advocats, tots professors o tots metges. Calculem cada cas per separat i sumem les probabilitats.

1. Tots advocats: Hi ha 9 advocats, així que les maneres de triar-ne 3 són:

$$C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$$

2. Tots professors: Hi ha 7 professors:

$$C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$

3. Tots metges: Hi ha 4 metges:

$$C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$$

4. Casos favorables totals: Sumem els tres casos:

$$C(9, 3) + C(7, 3) + C(4, 3) = 84 + 35 + 4 = 123$$

5. Probabilitat:

$$P(\text{mateixa professió}) = \frac{C(9, 3) + C(7, 3) + C(4, 3)}{C(20, 3)} = \frac{123}{1140}$$

Simplifiquem (MCD de 123 i 1140 és 3):

$$\frac{123 \div 3}{1140 \div 3} = \frac{41}{380}$$

Resposta c): La probabilitat que els tres tinguin la mateixa professió és $\displaystyle\frac{41}{380}$.

Resum de respostes:

a) $\displaystyle\frac{11}{76}$
b) $\displaystyle\frac{91}{190}$
c) $\displaystyle\frac{41}{380}$