Problema quantitat de moviment relativista

La quantitat de moviment $\vec{p}$ en la teoria de la relativitat es defineix com a:
$$\vec{p} = \gamma m \vec{v},$$
on $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}$ és el factor de Lorentz, $m$ és la massa de la partícula i $\vec{v}$ la seva velocitat.

Calculeu el mòdul de la quantitat de moviment d’una partícula de massa en repòs igual a $9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg}$ que es mou a una velocitat de $1,87 \times 10^8 \, \text{m/s}$.

Quin error relatiu es tindria si es prengués com a valor de $\vec{p}$ el calculat segons la física clàssica? En la física clàssica, la quantitat de moviment es calcula com:
$$\vec{p}_{\text{clàssica}} = m \vec{v}.$$

El mòdul de la quantitat de moviment d’aquesta partícula, d’acord amb la física relativista, és:
$$\vec{p} = \gamma m_0 v = \displaystyle\frac{m_0 v}{\sqrt{1 – \displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}.$$
Substituint els valors:
$$m_0 = 9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg}, \quad v = 1,87 \times 10^8 \, \text{m/s}, \quad c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s},$$
tenim:
$$\vec{p} = \frac{(9,11 \times 10^{-31})(1,87 \times 10^8)}{\sqrt{1 – \displaystyle\frac{(1,87 \times 10^8)^2}{(3 \times 10^8)^2}}}.$$
Això dona:
$$\vec{p} \approx 2,18 \times 10^{-22} \, \text{kg·m/s}.$$

En canvi, d’acord amb la física clàssica:
$$\vec{p}_{\text{clàssica}} = m_0 v = (9,11 \times 10^{-31})(1,87 \times 10^8).$$ Aquest càlcul dona: $$\vec{p}_{\text{clàssica}} \approx 1,70 \times 10^{-22} \, \text{kg·m/s}.$$

Per tant, l’error relatiu és:
$$E_{\text{relatiu}} = \displaystyle \frac{\lvert \vec{p} – \vec{p}_{\text{clàssica}} \rvert}{\vec{p}} \times 100 \, \%.$$ Substituint els valors: $$E_{\text{relatiu}} = \displaystyle\frac{2,18 \times 10^{-22} – 1,70 \times 10^{-22}}{2,18 \times 10^{-22}} \times 100 \approx 22 \, \%.$$