Problema probabilitat. Baralla de cartes espanyola

Considerem la baralla espanyola (40 cartes). Extraiem una carta a l’atzar, mirem que pal és i la tornem a la baralla. Repetim la mateixa operació quatre vegades seguides. Es demana: a) Probabilitat d’haver tret dues vegades només una carta d’ors. b) Probabilitat d’haver tret més de dues cartes de bastos. c) Trobar les probabilitats a els dos casos anteriors en el supòsit de que no tornem les cartes a cada extracció.

Per resoldre el problema de probabilitats sobre la baralla espanyola, considerarem que hi ha $40$ cartes en total, distribuïdes en $4$ pals: oros, copes, espades i bastos, cada un amb $10$ cartes.

Part 1: Extraccions amb Devolució

a) Probabilitat d’haver tret dues vegades només una carta d’oros

La probabilitat d’obtenir una carta d’oros en una sola extracció és:
$$P(\text{oros}) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$$
La probabilitat d’obtenir una carta que no sigui d’oros és:
$$P(\text{no oros}) = 1 – P(\text{oros}) = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Volem calcular la probabilitat d’obtenir exactament $2$ cartes d’oros en $4$ extraccions. Això es pot modelar com una distribució binomial:

• $n = 4$ (nombre de proves)
• $k = 2$ (nombre d’èxits desitjats)
• $p = \frac{1}{4}$ (probabilitat d’èxit)

La fórmula de la probabilitat binomial és:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

Substituïm els valors:
$$P(X = 2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^{4-2}$$

Calculant cada part:

• $\binom{4}{2} = 6$
• $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$
• (\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16})

Per tant:
$$P(X = 2) = 6 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{16} = 6 \cdot \frac{9}{256} = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}$$

b) Probabilitat d’haver tret més de dues cartes de bastos

Primer, la probabilitat d’obtenir una carta de bastos és:
$$P(\text{bastos}) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$$
La probabilitat d’obtenir una carta que no sigui de bastos és:
$$P(\text{no bastos}) = 1 – P(\text{bastos}) = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Volem calcular la probabilitat d’obtenir més de $2$ cartes de bastos en $4$ extraccions. Això inclou obtenir $3$ o $4$ bastos.

Calculem ambdues probabilitats per separat.

Per $k = 3$:
$$P(X = 3) = \binom{4}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^{4-3}$$
$$= 4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 4 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{3}{256} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$$

Per $k = 4$:
$$P(X = 4) = \binom{4}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right)^{0}$$
$$= 1 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256}$$

Sumem ambdues probabilitats:
$$P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) = \frac{3}{64} + \frac{1}{256}$$
Primer convertim $\frac{3}{64}$ a una fracció amb denominador $256$:
$$\frac{3}{64} = \frac{12}{256}$$
Per tant:
$$P(X > 2) = \frac{12}{256} + \frac{1}{256} = \frac{13}{256}$$

Part 2: Extraccions Sense Devolució

Ara considerarem les extraccions sense devolució. En aquest cas, les probabilitats canvien després de cada extracció, per la qual cosa és necessari calcular de manera més acurada.

a) Probabilitat d’haver tret dues vegades només una carta d’oros (sense devolució)

Per calcular això, analitzem el cas de treure $2$ oros en $4$ extraccions. Contabilitzem les combinacions i les respectives probabilitats.

1. Treu $2$ oros: Escollim $2$ oros de $10$ i $2$ de les altres $30$.
2. Les combinacions possibles de $4$ cartes que obtenim oros són:

• O, O, X, X

Combinacions:
$$\text{Combinacions d’oros} = \binom{10}{2} \text{ (escollir 2 oros)}$$
$$\text{Combinacions de no oros} = \binom{30}{2} \text{ (escollir 2 no oros)}$$

Calculem:
$$\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$
$$\binom{30}{2} = \frac{30 \cdot 29}{2} = 435$$

El nombre total de maneres de seleccionar $4$ cartes de $40$ és:
$$\binom{40}{4} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 91,390$$

Per tant, la probabilitat és:
$$P(X = 2 \text{ oros}) = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{30}{2}}{\binom{40}{4}} = \frac{45 \cdot 435}{91,390}$$

Calculem:
$$P(X = 2 \text{ oros}) = \frac{19,575}{91,390} \approx 0.214$$

b) Probabilitat d’haver tret més de dues cartes de bastos (sense devolució)

Per això, considerem el cas de $3$ o $4$ bastos.

$3$ bastos i $1$ carta que no sigui de bastos:
$$\text{Combinacions de bastos} = \binom{10}{3} \cdot \binom{30}{1}$$
Per a $4$ bastos:
$$\text{Combinacions de bastos} = \binom{10}{4} \text{ (escollir 4 bastos)}$$

Calculem:
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$
$$\binom{30}{1} = 30$$

Per tant:
$$P(X = 3) = \frac{\binom{10}{3} \cdot \binom{30}{1}}{\binom{40}{4}} = \frac{120 \cdot 30}{91,390} = \frac{3,600}{91,390}$$

Per $4$ bastos:
$$P(X = 4) = \frac{\binom{10}{4}}{\binom{40}{4}} = \frac{210}{91,390}$$

Total de probabilitats:
$$P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) = \frac{3,600 + 210}{91,390} = \frac{3,810}{91,390} \approx 0.042$$

Resum de Resultats

1. Amb devolució:

• a) Probabilitat d’haver tret dues vegades només una carta d’oros: $\frac{27}{128} \approx 0.211$
• b) Probabilitat d’haver tret més de dues cartes de bastos: $\frac{13}{256} \approx 0.051$

1. Sense devolució:

• a) Probabilitat d’haver tret dues vegades només una carta d’oros: $\frac{19,575}{91,390} \approx 0.214$
• b) Probabilitat d’haver tret més de dues cartes de bastos: $\frac{3,810}{91,390} \approx 0.042$