Problema òrbita circular satèl·lit

Un satèl·lit de $2000$ kg de massa gira en una òrbita circular a una altura de $3630$ km sobre la superfície de la Terra. a) Calculeu el període d’aquesta òrbita circular i la velocitat del satèl·lit. En passar pel punt P, el satèl·lit augmenta la velocitat fins a $7.00\cdot10^3\ \text{m/s}$ i passa a descriure una òrbita el·líptica amb una altura màxima (apogeu) en el punt A de $9530$ km. b) Calculeu l’energia cinètica, l’energia potencial gravitatòria i l’energia mecànica total en els punts $P$ i $A$ en la nova òrbita el·líptica. Calculeu el mòdul del moment angular en el punt $A$ i el punt $\ $. Feu una valoració del resultat del moment angular en els dos punts.

Dades:

• $G = 6.67\cdot10^{-11}$ N$\cdot$m$^2$$/$kg$^2$
• Massa de la Terra: $M_T = 5.97\cdot10^{24}\ \text{kg}$
• Radi de la Terra: $6370\ \text{km}$

Segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força s’expressa com:
\begin{equation}
F = G \frac{M_T m}{(R_T + h)^2}
\end{equation}

La segona llei de Newton estableix que:
\begin{equation}
\vec{F} = m \vec{a},
\end{equation}

on $m$ és la massa del satèl·lit i l’acceleració és l’acceleració centrípeta:
\begin{equation}
a_c = \frac{v^2}{r}
\end{equation}

Aleshores,
\begin{equation}
m v^2 = G \frac{M_T m}{(R_T + h)}
\end{equation}

Si aïllem la velocitat obtenim:
\begin{equation}
v = \sqrt{\frac{G M_T}{R_T + h}} = 6.31 \times 10^3 \text{ m/s}
\end{equation}

La relació amb el període és:
\begin{equation}
v = \omega (R_T + h)
\end{equation}

Com que $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,
\begin{equation}
T = \frac{2 \pi (R_T + h)}{v} = 9.96 \times 10^3 \text{ s}
\end{equation}

b) En el punt P tindrem:
\begin{equation}
E = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{G M_T m}{R_T + h_P} = (4.90 \times 10^{10} – 7.97 \times 10^{10}) \text{ J} = -3.07 \times 10^{10} \text{ J}
\end{equation}

Com que l’energia total es conserva al llarg de la trajectòria:
\begin{equation}
E = E_c – \frac{G M_T m}{R_T + h_A} = -3.06 \times 10^{10} \text{ J}
\end{equation}

D’on:
\begin{equation}
E_c = (-3.06 + 5.01) \times 10^{10} \text{ J} = 1.94 \times 10^{10} \text{ J}
\end{equation}

El moment angular del sat`el\cdot\lit respecte el centre de la Terra s’expressa com:
\begin{equation}
\vec{L} = m \vec{r} \times \vec{v}
\end{equation}

on $\vec{r}$ és el vector de posició que apunta del centre de la Terra al satèl·lit, $m$ és la massa del satèl·lit i $\vec{v}$ és la seva velocitat. El módul del moment angular s’expressa com:

\begin{equation}
L = m r v \sin \theta,
\end{equation}

on $\theta$ és l’angle que formen $\vec{r}$ i $\vec{v}$. Com al punt P $\vec{r}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars, $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\sin \theta = 1$. Per tant, el moment angular al punt P és:
\begin{equation}
L_P = m r_P v_P = 2000 \times (3630 + 6370) \times 1000 \times 7000 = 1.40 \times 10^{15} \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}
\end{equation}

Per altra banda, la velocitat $v_A$ a partir de l’energia cinètica que hem calculat abans:
\begin{equation}
v_A = \sqrt{\frac{2 E_c}{m}} = 4.41 \times 10^3 \text{ m/s}
\end{equation}

Com al punt A $\vec{r}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars, $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\sin \theta = 1$. Per tant, el moment angular al punt A és:
\begin{equation}
L_A = m r_A v_A = 2000 \times (9530 + 6370) \times 1000 \times 4410 = 1.40 \times 10^{15} \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}
\end{equation}

I com que el moment angular es conserva, obtenim el mateix resultat:
\begin{equation}
L_A = L_P.
\end{equation}