Problema optimització impremta

Una impremta rep l’encàrrec de realitzar una targeta rectangular amb les següents característiques: la superfície rectangular que ha d’ocupar la zona impresa ha de ser de $100$ cm$^2$, el marge superior ha de ser de $2$ cm, l’inferior de $3$ cm i els laterals de $5$ cm cadascun. Calcular, si és possible, les dimensions que ha de tenir la targeta de manera que s’utilitzi la menor quantitat de paper possible.

Les dimensions de la targeta són ( x ) cm de base i ( y ) cm d’altura, i és el que ens demanen calcular.

Comencem definint la funció que hem d’optimitzar. En el nostre cas, volem utilitzar la menor quantitat de paper possible, la qual cosa significa minimitzar l’àrea total del paper.

L’àrea total del paper és:

\begin{equation}
A(x,y) = x \cdot y
\end{equation}

Aquesta és una funció de dues variables que no podem derivar directament. Hem d’utilitzar la restricció proporcionada per eliminar una de les variables de la funció a optimitzar. En el nostre cas, la restricció és que l’àrea de la zona impresa dins dels marges ha de ser ( A_{imp} = 100\ \text{cm}^2 ).

\begin{align}
A_{imp} = (x – 5 – 5) \cdot (y – 2 – 3) = (x – 10) \cdot (y – 5) = 100,\
y – 5 = \frac{100}{x – 10},\
y = \frac{100}{x – 10} + 5.
\end{align}

Substituïm en l’expressió de l’àrea total:

\begin{align}
A(x) = x \cdot \left( \frac{100}{x – 10} + 5 \right) \
= \frac{100x}{x – 10} + 5x = \frac{100x + 5x^2 – 50x}{x – 10} = \frac{5x^2 + 50x}{x – 10}.
\end{align}

Ara podem optimitzar aquesta funció. Primer la derivem:

\begin{align}
A'(x) = \frac{(10x + 50)(x – 10) – (5x^2 + 50x)}{(x – 10)^2}\
= \frac{10x^2 – 100x + 50x – 500 – 5x^2 – 50x}{(x – 10)^2}\
= \frac{5x^2 – 100x – 500}{(x – 10)^2}.
\end{align}

Igualem a ( 0 ) i resolem:

\begin{align}
\frac{5x^2 – 100x – 500}{(x – 10)^2} = 0,\
5x^2 – 100x – 500 = 0,\
x^2 – 20x – 100 = 0.
\end{align}

Les solucions d’aquesta equació de segon grau són: ( x = 24.14 ) cm i ( x = -4.14 ) cm.

El resultat negatiu es descarta perquè no és possible una longitud negativa. Per tant, ( x = 24.14 ) cm.

Comprovem que es tracta d’un mínim aplicant el test de la derivada segona:

\begin{align}
A”(x) = \frac{(10x – 100)(x – 10)^2 – (5x^2 – 100x – 500) \cdot 2(x – 10)}{(x – 10)^4}\
= \frac{(10x – 100)(x – 10) – (10x^2 – 200x – 1000)}{(x – 10)^3}\
= \frac{10x^2 – 100x – 100x + 1000 – 10x^2 + 200x + 1000}{(x – 10)^3}\
= \frac{2000}{(x – 10)^3}.
\end{align}

D’on ( A”(24.14) > 0 ). Per tant, es tracta d’un mínim.

Així doncs, les dimensions per tal que el consum de paper sigui mínim són:

\begin{equation}
x = 24.14\ \text{cm}, \quad
y = \frac{100}{24.14 – 10} + 5 = 12.07\ \text{cm}.
\end{equation}