Problema optimització àrees

Una corda d’un metre de longitud es divideix en dos trossos amb què es construeixen un quadrat i una circumferència respectivament. Determina, si és possible, les longituds dels trossos perquè la suma de les àrees sigui mínima.

Amb una corda d’1 metre hem de formar dues figures. Per a la primera figura utilitzarem metres, i per a la segona figura la resta, és a dir, $1-x$ metres.

La primera figura és un quadrat. Com que per a aquesta figura hem reservat metres, el costat del quadrat mesura $x/4$, i la seva àrea val $\displaystyle A_1=\left (\frac x4\right )^2=\frac{x^2}{16}$.

La segona figura és una circumferència el perímetre $l$ de la qual mesura $1-x$. Com que el perímetre d’una circumferència és $l=2\pi r$, el radi d’aquesta circumferència és

\begin{equation} r = \frac{l}{2\pi} = \frac{1 – x}{2\pi} \end{equation}

i l’àrea d’aquesta circumferència és, per tant,

\begin{equation} A_2 = \pi r^2 = \pi \left( \frac{1 – x}{2\pi} \right)^2 = \frac{(1 – x)^2}{4\pi}. \end{equation}

Ens demanen que trobem les longituds de tots dos trossos perquè la suma de les àrees sigui mínima. La funció a optimitzar és, per tant, la funció d’àrea total:

\begin{equation} A = A_1 + A_2 = \frac{x^2}{16} + \frac{(1 – x)^2}{4\pi} = A(x). \end{equation}

Aquesta funció d’àrea és funció de i es pot derivar. En els punts òptims, la derivada d’una funció val .

\begin{equation} A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(1 – x)(-1)}{4\pi} = \frac{2x}{16} – \frac{1 – x}{2\pi} = 0. \end{equation}

Resolem l’equació resultant per obtenir els punts crítics:

\begin{align} \frac{2x}{16} – \frac{1 – x}{2\pi} = 0 \cdot \frac{2x}{16} = \frac{1 – x}{2\pi} \ 2x \cdot 2\pi = (1 – x) \cdot 16 \ \pi x = (1 – x) \cdot4 \ \pi x = 4 – 4x \cdot 4x + \pi x = 4 \cdot (4 + \pi)\cdot x = 4 \ x = \frac{4}{4 + \pi}. \end{align}

Per veure si aquest punt crític és un mínim, utilitzem el test de la derivada segona:

\begin{equation} A”(x) = \frac{2}{16} – \frac{-1}{2\pi} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi}. \end{equation}

Com que $\displaystyle A”\left(\frac 4{4+\pi}\right)>0$, llavors es tracta d’un mínim.

Finalment, queda determinar quant mesuren els trossos de corda reservats a cada figura:

• Pel quadrat: $\displaystyle x=\frac 4{4+\pi}$ m
• Per a la circumferència: $\displaystyle 1-x=1-\frac 4{4+\pi}=\frac{4+\pi-4}{4+\pi}=\frac{\pi}{4+\pi}$ m