Problema distribució normal. El pes de les pomes

El pes de les pomes d’un carregament és una variable amb distribució normal de mitjana $250$ grams i desviació estàndard $30$ g. Calculeu: a) La probabilitat que una poma presa a l’atzar pesi menys de $180$ g. b) La probabilitat que una poma presa a l’atzar pesi més de $220$ g. c) La probabilitat que una poma presa a l’atzar pesi entre $200$ i $230$ grams. d) La probabilitat que una poma presa a l’atzar pesi entre $250$ i $260$ grams. e) La probabilitat que una poma presa a l’atzar pesi entre $220$ i $280$ grams.

Com que el pes segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 250$ grams i desviació estàndard $\sigma = 30$ grams, calculem les probabilitats utilitzant la transformació a valors $z$ (puntuacions estàndard) de la distribució normal estàndard. La fórmula és:

$$z = \frac{x – \mu}{\sigma}$$

On $x$ és el valor de pes, $\mu$ és la mitjana, i $\sigma$ és la desviació estàndard. Les probabilitats es troben a partir de la taula de la distribució normal estàndard $\Phi(z)$, que dona ($P(Z < z)$.

Apartat a)
Probabilitat que una poma pesi menys de $180$ g:
$$z = \frac{180 – 250}{30} = \frac{-70}{30} \approx -2.33$$
$P(Z < -2.33)$. Consultant la taula, $P(Z < -2.33) \approx 0.0099$.

$\textbf{Resposta:}$ La probabilitat és aproximadament $0.0099$ (o $0.99\%$).

Apartat b)
Probabilitat que una poma pesi més de $220$ g:
$$z = \frac{220 – 250}{30} = \frac{-30}{30} = -1$$
$P(Z > -1) = 1 – P(Z < -1)$. Consultant la taula, $P(Z < -1) \approx 0.1587$, així: $$P(Z > -1) = 1 – 0.1587 = 0.8413$$

$\textbf{Resposta:}$ La probabilitat és aproximadament $0.8413$ (o $84.13\%$).

Apartat c)
Probabilitat que una poma pesi entre $200$ i $230$ g:

• Per $x = 200$: $z = \frac{200 – 250}{30} = \frac{-50}{30} \approx -1.67$
• Per $x = 230$: $z = \frac{230 – 250}{30} = \frac{-20}{30} \approx -0.67$
  $P(-1.67 < Z < -0.67) = P(Z < -0.67) – P(Z < -1.67)$.
• $P(Z < -0.67) \approx 0.2514$
• $P(Z < -1.67) \approx 0.0475$
  $$P(-1.67 < Z < -0.67) = 0.2514 – 0.0475 = 0.2039$$

$\textbf{Resposta:}$ La probabilitat és aproximadament $0.2039$ (o $20.39\%$).

Apartat d)
Probabilitat que una poma pesi entre $250$ i $260$ g:

• Per $x = 250$: $z = \frac{250 – 250}{30} = 0$
• Per $x = 260$: $z = \frac{260 – 250}{30} = \frac{10}{30} \approx 0.33$
  $P(0 < Z < 0.33) = P(Z < 0.33) – P(Z < 0)$.
• $P(Z < 0.33) \approx 0.6293$
• $P(Z < 0) = 0.5$
  $$P(0 < Z < 0.33) = 0.6293 – 0.5 = 0.1293$$

$\textbf{Resposta:}$ La probabilitat és aproximadament $0.1293$ (o $12.93\%$).

Apartat e)
Probabilitat que una poma pesi entre $220$ i $280$ g:

• Per $x = 220$: $z = \frac{220 – 250}{30} = -1$
• Per $x = 280$: $z = \frac{280 – 250}{30} = \frac{30}{30} = 1$
  $P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) – P(Z < -1)$.
• $P(Z < 1) \approx 0.8413$
• $P(Z < -1) \approx 0.1587$
  $$P(-1 < Z < 1) = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826$$

$\textbf{Resposta:}$ La probabilitat és aproximadament $0.6826$ (o $68.26\%$).