Problema discussió sistemes d’equacions. Setembre 2006

Considereu el sistema d’equacions següent:$$\begin{cases}7x + 8y + 13z = 70 \\ x + y + z = 200 \\ 7x + 8y + pz = 95\end{cases}$$ a) Discutiu-lo en funció del paràmetre $p$. b) Doneu la interpretació geomètrica en els casos en què el sistema és incompatible. c) Resoleu el sistema per a $p = 6$.

Esglaonant la matriu ampliada del sistema ens queda:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
7 & 8 & 13 & 70 \\
1 & 1 & 1 & 200 \\
7 & 8 & p & 95
\end{array}\right)$$

Aplicant operacions fila, obtenim:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 200 \\
7 & 8 & 13 & 70 \\
7 & 8 & p & 95
\end{array}\right)
\sim\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 200 \\
0 & 7 & 6 & -1330 \\
0 & 0 & p-13 & 200 – 95
\end{array}\right)$$

Per a $p = 9$ i per a $p = 7$, el rang de la matriu del sistema és igual a $2$, mentre que el rang de la matriu ampliada és $3$. Això implica que el sistema és incompatible per aquests valors. Per a qualsevol altre valor de $p$, el sistema és compatible determinat.

Evidentment, aquest problema també es pot començar calculant el determinant de la matriu del sistema:

$$\begin{vmatrix}
7 & 8 & p \\
1 & 1 & 1 \\
7 & 8 & p \\
\end{vmatrix} = -2p^2 + 16p – 63$$

Les arrels d’aquest determinant són $p = 7$ i $p = 9$. Quan $p = 7$, la primera i la tercera equacions ja mostren que el sistema és incompatible; per a $p = 9$, és necessari esglaonar la matriu ampliada del sistema per confirmar la incompatibilitat.

Anàlisi geomètrica:

• Per a $p = 7$, les primeres i terceres equacions representen plans paral·lels; en altres paraules, hi ha dos plans paral·lels i un tercer que els talla.
• Per a $p = 9$, cap pla és paral·lel als altres, fet que implica que els plans es tallen dos a dos en rectes paral·leles entre si.

Solució particular per a $p = 6$:

Quan $p = 6$, el sistema es pot resoldre pel mètode de Gauss (o qualsevol altre) i la solució és:

\begin{equation}
\begin{cases}
6x + 7y + 8z = 1370 \\
x + y + z = 200 \\
7x + 6y + 8z = 1395
\end{cases}
\end{equation}

Pas 1: Formem la matriu ampliada
$$\begin{bmatrix}
6 & 7 & 8 & | & 1370 \\
1 & 1 & 1 & | & 200 \\
7 & 6 & 8 & | & 1395
\end{bmatrix}$$

Pas 2: Triem una fila amb un coeficient petit per simplificar (evitar fraccions inicialment)
Com que la segona fila té un 1 a la primera columna, la fem servir com a pivot inicial. Intercanviem $R_1$ i $R_2$:
$$R_1 \leftrightarrow R_2: \quad
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 200 \\
6 & 7 & 8 & | & 1370 \\
7 & 6 & 8 & | & 1395
\end{bmatrix}$$

Pas 3: Fem zeros a la primera columna sota el pivot (1)
Per a $R_2$: $R_2 \to R_2 – 6R_1$:
$$R_2: 6 – 6 \cdot 1 = 0, \quad 7 – 6 \cdot 1 = 1, \quad 8 – 6 \cdot 1 = 2, \quad 1370 – 6 \cdot 200 = 1370 – 1200 = 170$$
$$R_2: \begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 & | & 170
\end{bmatrix}$$
Per a $R_3$: $R_3 \to R_3 – 7R_1$:
$$R_3: 7 – 7 \cdot 1 = 0, \quad 6 – 7 \cdot 1 = -1, \quad 8 – 7 \cdot 1 = 1, \quad 1395 – 7 \cdot 200 = 1395 – 1400 = -5$$
$$R_3: \begin{bmatrix}
0 & -1 & 1 & | & -5
\end{bmatrix}$$
Matriu actual:
$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 200 \\
0 & 1 & 2 & | & 170 \\
0 & -1 & 1 & | & -5
\end{bmatrix}$$

Pas 4: Fem zeros a la segona columna sota el pivot (1 a $R_2$)
Per a $R_1$: $R_1 \to R_1 – R_2$:
$$R_1: 1 – 0 = 1, \quad 1 – 1 = 0, \quad 1 – 2 = -1, \quad 200 – 170 = 30$$
$$R_1: \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & | & 30
\end{bmatrix}$$
Per a $R_3$: $R_3 \to R_3 + R_2$:
$$R_3: 0 + 0 = 0, \quad -1 + 1 = 0, \quad 1 + 2 = 3, \quad -5 + 170 = 165$$
$$R_3: \begin{bmatrix}
0 & 0 & 3 & | & 165
\end{bmatrix}$$
Matriu actual:
$$\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & | & 30 \\
0 & 1 & 2 & | & 170 \\
0 & 0 & 3 & | & 165
\end{bmatrix}$$

Pas 5: Posem un 1 a la tercera posició de la tercera fila (pivot)
Dividim $R_3$ per 3:
$$R_3 \to \frac{R_3}{3}: \quad 3 \div 3 = 1, \quad 165 \div 3 = 55$$
Aquí no podem evitar la fracció en el procés, però la resolem directament:
$$R_3: \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & | & 55
\end{bmatrix}$$
Matriu actual:
$$\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & | & 30 \\
0 & 1 & 2 & | & 170 \\
0 & 0 & 1 & | & 55
\end{bmatrix}$$

Pas 6: Fem zeros a la tercera columna per sobre del pivot
Per a $R_1$: $R_1 \to R_1 + R_3$:
$$R_1: 1 + 0 = 1, \quad 0 + 0 = 0, \quad -1 + 1 = 0, \quad 30 + 55 = 85$$
$$R_1: \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 85
\end{bmatrix}$$
Per a $R_2$: $R_2 \to R_2 – 2R_3$:
$$R_2: 0 – 2 \cdot 0 = 0, \quad 1 – 2 \cdot 0 = 1, \quad 2 – 2 \cdot 1 = 0, \quad 170 – 2 \cdot 55 = 170 – 110 = 60$$
$$R_2: \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & | & 60
\end{bmatrix}$$
Matriu final:
$$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 85 \\
0 & 1 & 0 & | & 60 \\
0 & 0 & 1 & | & 55
\end{bmatrix}$$

Pas 7: Interpretem la solució
La matriu indica:
$x = 85$
$y = 60$
$z = 55$

$$\boxed{x = 85, \quad y = 60, \quad z = 55}$$