Problema dinàmica del sòlid rígid

Una persona de massa $m$ està situada en un punt de la perifèria d’una plataforma circular en forma de disc de radi $R$ que gira a una velocitat angular constant $\omega$. De sobte, la persona comença a caminar cap al centre de la plataforma a velocitat constant $v$. Quina és l’expressió que permet obtenir la velocitat angular de la plataforma en funció dels paràmetres anteriors i del temps? I si la persona camina amb acceleració constant $a$, quina és llavors l’expressió que cal aplicar?

El moment d’inèrcia de la plataforma en forma de disc i de la persona, suposant que aquesta és una partícula de massa $m$ situada inicialment a una distància $R$, és:

$$I = \frac{1}{2} MR^2 + mR^2$$

Per tant, el moment angular inicial és $L = \left( \frac{1}{2} MR^2 + mR^2 \right) \omega_0$.

Quan la persona camina cap al centre a velocitat constant, la distància $r$ de la persona al centre de la plataforma varia amb el temps segons l’expressió $r = R – vt$. Per tant, el moment angular $L’$ del sistema quan la persona ha avançat a una posició $r$ passat un cert temps $t$ és:

$$L’ = \left( \frac{1}{2} MR^2 + mr^2 \right) \omega = \left( \frac{1}{2} MR^2 + m(R – vt)^2 \right) \omega$$

El moment angular s’ha de conservar, de manera que $L’ = L$; per tant:

$$L’ = L \rightarrow \left( \frac{1}{2} MR^2 + m(R – vt)^2 \right) \omega = \left( \frac{1}{2} MR^2 + mR^2 \right) \omega_0$$

Aïllem finalment $\omega$, i obtenim:

$$\omega = \frac{\left( \frac{1}{2} MR^2 + mR^2 \right) \omega_0}{\left( \frac{1}{2} MR^2 + m(R – vt)^2 \right)}$$