Problema d’equilibri d’una escala recolzada en una paret

Una escala de $2$ metres de llargada i $30$ kg de massa es recolza en una paret llisa formant un angle de $60^\circ$ respecte l’horitzontal. El coeficient de fricció estàtic entre el terra i l’escala és de $0,2$. Es considera que la fricció entre l’escala i la paret és negligible. a) Quina és la força de fricció estàtica que actua sobre l’escala quan no hi ha cap persona damunt? b) Fins a quina alçada màxima pot pujar una persona de $75$ kg de massa abans que l’escala comenci a relliscar?

a) Força de fricció estàtica. Dades:

• Longitud de l’escala: \( L = 2 \, \text{m} \)
• Massa de l’escala: \( m = 30 \, \text{kg} \)
• Angle amb l’horitzontal: \( \theta = 60^\circ \). Equilibri de forces i moments (sense persona): Moment respecte al terra:\[F_{\text{paret}} \cdot L \cdot \sin(\theta) = \frac{W \cdot L}{2} \cdot \cos(\theta)\]\[F_{\text{paret}} = \frac{W}{2} \cdot \cot(\theta) = \frac{294}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 84{,}86 \, \text{N}\]Com que la fricció al terra equilibra aquesta força horitzontal:\[\boxed{f = 84{,}86 \, \text{N}}\]
• Pes: \( W = m \cdot g = 30 \cdot 9{,}8 = 294 \, \text{N} \)

b) Alçada màxima abans que rellisqui la persona. Dades addicionals:

• Massa de la persona: \( M = 75 \, \text{kg} \Rightarrow W_P = 735 \, \text{N} \)

• Pes total: \( W_{\text{total}} = W + W_P = 1029 \, \text{N} \)

• Fricció màxima: \( f_{\text{màx}} = \mu_s \cdot N = 0{,}2 \cdot 1029 = 205{,}8 \, \text{N} \). Equilibri de moments (amb la persona a una distància \( x \) de la base): \[f_{\text{màx}} \cdot L \cdot \sin(\theta) = W \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\theta) + W_P \cdot x \cdot \cos(\theta)\]Substituïm valors:\[205{,}8 \cdot 2 \cdot \sin(60^\circ) = 294 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) + 735 \cdot x \cdot \cos(60^\circ)\]\[356{,}37 = 147 + 367{,}5 \cdot x \Rightarrow x \approx 0{,}57 \, \text{m}\] Alçada màxima: \[h = x \cdot \sin(\theta) = 0{,}57 \cdot 0{,}866 \approx \boxed{0{,}49 \, \text{m}}\]

Respostes finals:

a) La força de fricció estàtica és 84,86 N.

b) L’alçada màxima que pot pujar la persona abans que rellisqui l’escala és 0,49 metres.