LEMNISCATA
Matemàtiques
Considerem que tenim tres càrregues als vèrtexs d’un quadrat de costat $a$:
L’objectiu és calcular la càrrega $Q$ en el quart vèrtex perquè la força total sobre la càrrega $q$ sigui nul·la.
Per simplificar, suposarem que:
Cada càrrega en els vèrtexs del quadrat dista una longitud $a$ dels vèrtexs adjacents i $\sqrt{2} a$ dels vèrtexs oposats (diagonal del quadrat).
Les forces $F_{AB}$ i $F_{AC}$ formen un angle de $90$° i es combinen vectorialment en la direcció de la diagonal del quadrat (cap al punt $D$), amb una força resultant:
$$F_{AB+AC} = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{AC}^2} = \sqrt{\left(k \frac{q^2}{a^2}\right)^2 + \left(k \frac{q^2}{a^2}\right)^2} = k \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2}$$
Per tal que la força total sobre $q$ sigui nul·la, la força produïda per $Q$ en $D$ ha de compensar la resultant de les forces de $-q$ en $B$ i $C$:
$$F_{AD} = F_{AB+AC}$$
Per tant:
$$k \frac{|q \cdot Q|}{2a^2} = k \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2}$$
Simplifiquem $k$ i $\frac{q}{a^2}$:
$$\frac{|Q|}{2} = q \sqrt{2}$$
$$|Q| = 2 q \sqrt{2} = 2 \cdot 10 \times 10^{-6} \cdot \sqrt{2} = 2.828 \times 10^{-5} \, \text{C} = 28.28 \, \mu C$$
Així, la càrrega $Q$ al punt $D$ ha de ser positiva amb un valor de:
$$Q = 28.28 \, \mu C$$
Per a totes les càrregues
$$d = \frac{\sqrt{2}}{2} a = 1,06 \, \text{cm} = 1,06 \times 10^{-2} \, \text{m}$$
$$V = -k \frac{q}{d} – k \frac{q}{d} + k \frac{q}{d} + k \frac{q_0}{d} = k \frac{(q_0 – q)}{d} = 1,55 \times 10^7 \, \text{V}$$
$$W_{\text{Apl}} = -W_{\text{Camp}} = q \cdot \Delta V = 5 \times 10^{-7} \cdot (1,55 \times 10^7 – 0) = 7,75 \, \text{J}$$