Problema del 2019, juny, sèrie 1

Problema del 2019, juny, sèrie 1
31 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Electroestàtica, Física Oscar Alex Fernandez Mora

Hem situat una partícula puntual amb una càrrega $q = 10\mu$C i dues partícules puntuals amb una càrrega $-q$ als vèrtexs d’un quadrat de costat $a = 1,50$ cm tal com s’indica en la figura. a) Quin és el valor de la càrrega puntual q situada al quart vèrtex si la força elèctrica sobre la càrrega q és nulla? b) Quin treball haurem de fer per a portar una càrrega puntual de 0,50 µC des d’una distància molt gran fins al centre del quadrat?

Dades

  1. $q = 10 \, \mu C = 10 \times 10^{-6} \, C$.
  2. Costat del quadrat $a = 1,5 \, cm = 0,015 \, m$.
  3. Constant de Coulomb $k = 8,99 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2$.

a) Valor de la càrrega puntual $q$ situada al quart vèrtex per tal que la força sobre $q$ sigui nul·la

Considerem que tenim tres càrregues als vèrtexs d’un quadrat de costat $a$:

  • Una càrrega $q = 10 \, \mu C$ situada en un vèrtex.
  • Dues càrregues $-q = -10 \, \mu C$ situades en dos dels altres vèrtexs adjacents.

L’objectiu és calcular la càrrega $Q$ en el quart vèrtex perquè la força total sobre la càrrega $q$ sigui nul·la.

Pas 1: Disposició de les càrregues

Per simplificar, suposarem que:

  1. La càrrega $q$ està en el vèrtex $A$ del quadrat.
  2. Les càrregues $-q$ estan situades als vèrtexs $B$ i $C$ del quadrat.
  3. El quart vèrtex $D$ és on situarem la càrrega $Q$.

Cada càrrega en els vèrtexs del quadrat dista una longitud $a$ dels vèrtexs adjacents i $\sqrt{2} a$ dels vèrtexs oposats (diagonal del quadrat).

Pas 2: Forces sobre la càrrega $q$ al vèrtex $A$

  1. Força entre $A$ i $B$ (direcció $\vec{AB}$):
    $$F_{AB} = k \frac{|q \cdot (-q)|}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$$
  2. Força entre $A$ i $C$ (direcció $\vec{AC}$):
    $$F_{AC} = k \frac{|q \cdot (-q)|}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$$

Les forces $F_{AB}$ i $F_{AC}$ formen un angle de $90$° i es combinen vectorialment en la direcció de la diagonal del quadrat (cap al punt $D$), amb una força resultant:
$$F_{AB+AC} = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{AC}^2} = \sqrt{\left(k \frac{q^2}{a^2}\right)^2 + \left(k \frac{q^2}{a^2}\right)^2} = k \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2}$$

  1. Força entre $A$ i $D$ (direcció $\vec{AD}$):
    $$F_{AD} = k \frac{|q \cdot Q|}{(a \sqrt{2})^2} = k \frac{|q \cdot Q|}{2a^2}$$

Per tal que la força total sobre $q$ sigui nul·la, la força produïda per $Q$ en $D$ ha de compensar la resultant de les forces de $-q$ en $B$ i $C$:
$$F_{AD} = F_{AB+AC}$$

Per tant:
$$k \frac{|q \cdot Q|}{2a^2} = k \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2}$$

Simplifiquem $k$ i $\frac{q}{a^2}$:
$$\frac{|Q|}{2} = q \sqrt{2}$$

$$|Q| = 2 q \sqrt{2} = 2 \cdot 10 \times 10^{-6} \cdot \sqrt{2} = 2.828 \times 10^{-5} \, \text{C} = 28.28 \, \mu C$$

Així, la càrrega $Q$ al punt $D$ ha de ser positiva amb un valor de:
$$Q = 28.28 \, \mu C$$

b) Treball necessari per portar una càrrega puntual de $0,50 \, \mu C$ des d’una distància molt gran fins al centre del quadrat

Per a totes les càrregues

$$d = \frac{\sqrt{2}}{2} a = 1,06 \, \text{cm} = 1,06 \times 10^{-2} \, \text{m}$$

$$V = -k \frac{q}{d} – k \frac{q}{d} + k \frac{q}{d} + k \frac{q_0}{d} = k \frac{(q_0 – q)}{d} = 1,55 \times 10^7 \, \text{V}$$

$$W_{\text{Apl}} = -W_{\text{Camp}} = q \cdot \Delta V = 5 \times 10^{-7} \cdot (1,55 \times 10^7 – 0) = 7,75 \, \text{J}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *